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1、第27卷第8期大学物理Vol.27No.82008年8月COLLEGEPHYSICSAug.2008可压缩流体的伯努利方程李复(清华大学物理系,北京100084)摘要:引入适用于可压缩流体的伯努利方程,讨论了储液器内的峰值气压.关键词:可压缩流体;伯努利方程;储液器中图分类号:O35,O354文献标识码:A文章编号:100020712(2008)0820015204[1]在普通物理教材和教学中,仅讨论不可压缩设t—t+dt时间内注入的水的体积为dV水,排流体的伯努利方程.由此讨论液体和低速气体的运出的空气体积为dV,并设整个排气过程为等熵过动是可以的,但是不能
2、处理快速和高速气体的流动程,把空气当作理想气体,则对于留在容器内t时刻问题.本文利用可压缩气体的伯努利方程讨论一个体积为(V-dV)、压强为p的那些空气,在t+dt时涉及高速气流的实际问题.刻体积压缩为(V-dV水)、压强为(p+dp),于是由等熵过程的泊松(Poisson)公式有1注液过程中储液器内的极值气压γγp(V-dV)=(p+dp)(V-dV水)工业生产中常用的储液器通常有一个进液口和即一个排气口.以储水容器为例,如图1所示.开始容p(1-γdV/V)=(p+dp)(1-γdV水/V)器内有一个大气压的空气,在注水过程中容器内气于是得压会升高.容器内
3、气压的最大值是很重要的参量,决dp=γp(dV水-dV)/V(1)定了容器的强度设计.其中γ为比热容比.下面讨论储水容器内气压的极值.首先建立储设t时刻注入水和排出空气的体积流量分别为水容器内气压变化所满足的微分方程.设储水容器q水、q,则容积为V0,开始容器内充满与环境大气相同的空dV水=q水dt,dV=qdt气,气压、温度、密度分别为pa、Ta、ρa.设t时刻容器由于容器内空气进入排气管后体积膨胀,所以这里内的气压、体积、温度、密度分别为p、V、T、ρ.的排出空气体积流量q不等于排气管中的空气体积流量qe.将上式代入式(1)得dpγp=(q水-q)(2)d
4、tV其中tV=V0-V水=V0-∫q水dt(3)0定义气压极值pm为使dp/dt=0的气压.由式(2)可知,当q水-q=0时容器内气压达到极值pm,即q水=q(4)为容器内气压为极值的条件.图1储水容器体积流量取决于进水管和排气管中流体的流速.流速要用伯努利方程计算.排气管中空气的流速收稿日期:2007-02-16;修回日期:2007-10-18作者简介:李复(1945—),男,辽宁北镇人,清华大学物理系教授,主要从事基础物理教学和研究工作.16大学物理第27卷可以达到声速,因此要应用适用于可压缩流体的普dp-1/γLγ(γ-1)/γγp=Lpdp=dp=dρ
5、γ-1γ-1ρ遍伯努利方程.于是由式(6),可压缩理想气体在等熵定常流动过2普遍的伯努利方程程中沿流线的微分方程为2普通物理教材中一般不讲普遍的伯努利方程.dγp+v+<=0γ-1ρ2下面简要介绍如何由欧拉方程推导普遍的伯努利方[4][2]即程.适用于理想流体(无粘滞性的流体)的欧拉方2γpv程为++<=常数(9)γ-1ρ2dv5vΔΔρ=ρ+v·v=ρf-p(5)有了可压缩流体的伯努利方程式(6),才可以dt5t严格讨论在什么情况下可以近似应用不可压缩流体其中f为流体所受单位质量的保守体积力.对定常的伯努利方程(7)计算气体的流动.对式(6)两边沿流动,有流
6、线从点1到点2积分,得5v5ρ5p=0,=0,=02dp522t5t5t∫+(v2-v1)/2+(<2-<1)=01ρ于是式(5)为当1、2两点的气体相对压差较小时,密度ρ的变化Δ5v5v5vΔρv·v=ρvx+vy+vz=ρf-p2dp5x5y5z也较小,于是∫≈(p2-p1)/ρ,其中ρ∈[ρ2,ρ1].1ρ讨论同一条流线上各点的参量关系.用dr=vdt因此得到点积方程的两边得22p1+ρv1/2+ρ<1=p2+ρv2/2+ρ<2Δ5v5v5vρf·dr-(p)·dr=ρvx+vy+vz·vdt=这也就是应用式(7)得到的结果.5x5y5zρ5vdx+5v
7、dy+5vdz·v3注水管和排气管中的流体的流速5x5y5z化简为水可以看作不可压缩流体,忽略重力势能的影2响,由式(7)得到注水的流速v-ρd<-dp=ρ(dv)·v=ρd22(p水-p)dpv2v水=(10)ρ水+d+d<=0(6)ρ2同样忽略重力势能的影响,取容器内空气流速其中<为单位质量的势函数,-d<=f·dr.式(6)为零,则由式(9)得到排气管内空气流速为就是理想流体定常流动时沿流线上点的参量所满足2ppe的微分方程,也就是普遍的伯努利方程.式(6)也可ve=γ-=γ-1ρρe[3]以由热力学第一定律在绝热条件下导出.在普通γ-12γpepγ物理
8、学中当考虑内能后也可以推导出式(6).
