陈美玲论文正文21

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1、三质点三弹簧系统的振动分析陈XX（XXXX大学物理与电气工程V院物理系09级物理学1班）摘要：対多自山度系统振动进行分析，以一个三质点三弹簧的振动系统为实例进行深入研究，利用主振型变换和正则振型变换等方法分析系统的固有频率、主振空，重点分析无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应，以及冇阻尼系统对激励的响应，授后对系统能量进行分析，使此研究能为以后工程机械提高效率提供有效的理论指导。关键词：固有频率；无阻尼系统；有阻尼系统；激励响应；能量以弹簧-质量系统为模型，研究多自由度系统振动特点，过去有质点系的微振动，弦振动⑴的相关研究，均使用拉格朗日方程和微扰法进行求解。利用矩阵进行坐标变换使系

2、统去耦，它为研究多自由度的受迫振动提供了冇效而方便的方法⑷,同吋相关的还有用能量法求系统固有频率〔I。本文以三质点三弹簧系统作为实例，利用拉格朗日方程、振动叠加、正则变换或主振型变换等方法分析系统的固冇频率、主振型，分别讨论无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应，以及有阻尼系统对激励的响应，进而分析系统的能量。1系统固有频率、主振型1.1模态模态（也称固有振动模态或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可曲系统的特征值与特征矢量（固有矢量或主振型）二者共同來表示；它们分别从吋空两个方面来刻画系统的振动特性。分析表明，多自由度系统的振动都可以由各个模态振动叠加而成⑸。一方面，系统特征

3、值确定了各个模态振动的固有频率与阻尼率，另一方面，系统特征矢量规定了一种空间模式，它确定在模态运动屮各个位移矢量之间的相对振幅与相位。1•2固有频率首先考虑多自由度线性振动系统，它的运动微分方程可表示为⑹Mx+Kx=f（1）式中x是位移矩阵；M与K分别为系统的质量与刚度矩阵，它们都是hxh阶实对称阵，且M设为正定，/是激励列阵。系统的自由振动微分方程可表示为它的解口J设为X-（fx.1sin（69Z4-（P）⑶其屮0为振幅列阵，血为原频率，0为初相位，它们都是特定的量⑹。将上式代入口由振动微分方程，可得

4、K-。2“卜0（系统的特征方程）由此可确定血2,并按色排列，/二1,2・・・no色称

5、为系统的固有频率。固冇频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。1.3主振型多自由度系统的模态也称为主振型，仍然讨论正定系统⑺的主振动，对丁5自出度系统，总可以找到〃个固冇频率和与之对应的〃阶主振型。用M阵、K阵来表示振动的特征值问题。特征值问题：卩——对应皆0"）"⑴=!eRnxi在特征向量中规定某个元索的值以确定其他各元索的值的过程称为归一化。0⑴描述了系统做第i阶主振动时具冇的振动形态，称为第i阶主振型或模态。主振型仅取决于系统的M阵、K阵等物理参数。1.4三质点三弹簧实例图1是三自由度振动系统卩旳，设ki=k2=k3=kfmx=m2=m9m3=2加，试求系统的固有频率和主振型。

6、图1三口由度振动系统分析：选择壬，无，忑坐标，则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为m00_M=0m0002m将M和K代入频率方程K-p2MK=-k02k-k-kk=0得：-k02k-p2m-k=0-kk-2p2m2k-p2m-k02k-k0解方程得到系统的三个同有频率为p.=0.3559J—,/?9=1.2810J—=1.7609、土VVmV/h再求特征矩阵的伴随矩阵(2k-phn)(k-2p2m)-k2k(k一2/异/力)k2adjB=k{k-2p2m)(2k-p2m)(k-2p2in)k(2k-p2in)k2k(2k-/rm)(2k-p2m)2-k2设取其第三列(计算时可只求出这一列)

7、，将卩值代入，得到第一阶主振型为".0000、r1.0000、(1.0000)1.8733二，三阶A⑵二0.7274a(3)=-1.1007(2.5092丿(-0.4709丿、0.2115丿2.无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应2.1主坐标变换和正则坐标变换刃自由度的振动系统，具有斤个固有频率和与之对应的刃阶主振型，且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。主振型为正交型⑼，以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵冋，即根拯主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的网个性质aJmap=mpaJKAp=Kp主刚度矩阵心=■■■,主质量矩阵

8、册/,=M・m2••■■M”.以各阶正则振型为列，按顺序排列成一个nx/i阶方阵，称此方阵为正则振型模态戏）…4?矩阵，即九=（却扁）…旳）=<■根拯主振型的正交性，可以导出正则矩阵的网个性质AvMAv=I=p;a；kan=p2=p9Pn由此也得到，主振型矩阵州与止则振型矩阵人，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用二者进行坐标变换，进而求主坐标或正则坐标⑸。2.1.1三质点三弹簧实例分析前例图示系统中的主振型