2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题12 数列

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1、1、（2000一试4）给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0（　）(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根2、（2003一试1）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的2003项是（）(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049【解析】C【解析】452=2025，462=2116．[来源:学&科&网]在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的202

2、5－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．【解析】由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898∴Sn=2n－2´0.11…1+2n－2´10－n．∴=´=．5、（2004一试11）已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0

3、=3，则的值是6、(2005一试7)将关于的多项式表为关于的多项式其中则.7、（2007一试10）已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于。【答案】【解析】因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数。令，则18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898。由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知。8、（2008一试10）设数列的前项和满足：，，则通项=　．[

4、来源:Z§xx§k.Com]9、（2010一试4）已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.【答案】【解析】设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.10、（2009一试7）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的

5、数是（可以用指数表示）11、（2000一试13）设Sn=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.12、（2000二试2）设数列{an}和{bn}满足，且证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．【解析】[证法一]：由假设得a1=4,b1=4且当n1时（2an+1-1）+=(14an+12bn-7)+(8an+7bn-4)=[(2an-1)+](7+4)依次类推可得18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898（2an-1）+=(7+(2a1-1+)=(7+4同理（2an-1

6、+）-=(7+4从而an=(7+4+(7+4+.由于74=（2，所以an=[(2++(2-)由二项式展开得cn=(2++(2-)=,显然Cn为整数，于是an为完全平方数.18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-8931389813、（2001一试13）设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且，，（a1

7、先求最小值，因为≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴最小值为1．再求最大值，令∴①18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898设，令则①⇔令＝0，则AA1BCD1Dmn15、（2001二试3）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。【解析】记所求最小值为f(m，