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《高中数学第二章平面向量25平面向量应用举例例题与探究新人教A版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.5平面向量应用举例典题精讲例1如图2-5-1,ABCD是正方形,BE/7AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.思路分析：建立适当的坐标系，根据坐标运算求!llAF.AE的坐标，进而证明AF二AE.证明：如图2-5-2,建立直角坐标系，设正方形边长为1,则A(-l,1),B(O,1).设E(x,y),则BE=(x,y-l).AC=(1,-1).VAC#BE,图2-5-2•x•(-1)-1•(y-l)=O
2、=
3、ACI,Ax2+y2-2=0.1+V31
4、+V32舍)X=21-V3V=BPE(1+V31—V322).设F(“，由不畑)和CR畔，呼)共线，得弓L呼=0.解得m=-2-V3..F(-2-V3,l),^F=(-l-V3,0),忑二(上迟，一土^).22・・・AF二AE.绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋了了有关点及向量的坐标，从而进行相关运算，使问题得到解决.变式训练已知AABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB.AC的中点，D是BC的中点,MN与AD交于F,求DF.思路分析：由已知条件可求出AB.4C的坐标，然后再由
5、屮点坐标公式进一步求出AD,解：VA(7,8),B(3,5),C(4,3),二AB二(3-7,5-8)二(-4,-3),AC=(4-7,3-8)=(-3,-5).■]—*°—*°又TD是BC的中点tAD=-(AB+AC)=(-3.5厂4).又M、N分别是AB.AC的中点2°°1为AD的中点••••DF二——AP=(L75,2).2例2—条河的两岸平行，河的宽度为d=500m,如图2-5-3所示，一艘船从八处出发航行到河的正对岸B处,船的航行速度为
6、V1
7、=10km/h,水流速度为
8、v2
9、=4km/h.B图2-5-3
10、（1）试求Vi与V2的夹角（精确到1°）,及船垂直到达对岸所用的时间（精确到0.1min）;（2）要使船到达对岸所用时间最少,vi与V2的夹角应为多少？思路解析：船（相对于河岸）的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船木身（相对于河水）的速度与河水的流速的合速度.解：（1）依题意，要使船到达对岸，就要使£与vz的合速度的方向正好垂直于对岸，所以Iv
11、=Ju,_叮=V100—16心9・2km/h,VI与v的夹角0满足sin（I二也二0.92,又a为钝角，故w与V2的夹角（）二114°；船垂直丨片I到达对岸
12、所用的时间t二5001000x9.2X60=3.3(min).（2）设vi与V2的夹角为0（如图2-5-4）,V】与V2在竖直方向上的分速度的和为
13、vj・sine,而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d二0.5km,从而所用的时间为t-°5,显然，当（）二90°时，t最小，即船头始lOsin&终向看对岸时，所用的时间最少，t=—=0.05h二3min.10绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速二船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向•结合向量应用的具体问题在理解向量知识和应用两方面下
14、功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.变式训练如图2-5-5,一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.图2-5-5解：设刃、亦分别表示两力，以0A、0B为邻边作C70ACB,则况就是合力.据题意，A0AC为等腰三角形且ZCOA=30°，过A作AD丄OC垂足为D,则在RtAOAD屮，OD=OAI・cos30°=60X—=30a/3,故IOCI二2IODI=60^3.2故合力的大小为60侖N,方向与水平方向成3
15、0°角.例3（2006四川高考卷，理7）如图2-5-6,己知正六边形RPPHPJV下列向量的数量积中最大的是（）DPR•PRA.PR・PRA"O"APl图2-5-6思路解析:设边长1PRI=a,则ZP2P1P3=.16PR=V3a,片马•片£=a-a/3a■=23a292rr■•‘•1—*—>■•ZPPP盲，
16、肚心，肚・Pf4»2a・厂乳肚・肚电也W<0，・••数量积中最大的是PR*PR.答案：A黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角或数量枳公式用错而出现错误.平面向量的数量积作为平而向量的一个重要内容，由于涉及运算及
17、能够同不等式相联系，因此是一个出题热点.预计此考点仍将是今后高考命题的热点.变式训练如图2-5-7,设四边形ABCD是00的内接正方形,P是00上的任一点，求证：IPA
18、2+
19、PB
20、2+
21、PC
22、2+
23、PD$与P点的位置无关.图2-5-7思路分析：根据向量的三角形法则表示出M、两、PC.而，从而判断出IPA
24、2+
25、PB
26、2+
27、PC
28、2+
29、PDF为定值.证明：设
