排列与组合概念辨析

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1、排列与组合概念辨析1．加法原理中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．乘法原理中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是N=m1+m2+…+mn，N=m1×m2×…×mn．这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与

2、物理中电路的串联、并联类比．2．对于排列的定义要抓住两个要点，即（1）“从n个不同元素中任选m个”；（2）“按着一定的顺序排成一列”．这里，“按着一定的顺序排成一列”，可能是m个元素笔直地排在一条直线上，也可能是排在曲线上，或者排在几条线上，甚至于根本不成列．重要的不在于成排成列，而在于将m个元素放在m个不同位置上．这样，两个要点就可以简称为“一元素，二位置”．排列与组合的区别表明人类对顺序的注意．排列与组合，都涉及对某一集合的子集个数的研究，但是，排列与顺序有关，组合则与顺序无关．例如，在直角坐标系中（2，3）与（3，2）是两个不同的点，是2和3的不同排列，但从

3、组合角度来说，它们都是由2和3构成的同一组合．3．两个公式是指对于的推导，重要的是抓住根本，先理解，即先理解从n个元素中取1个，放在第一个位置的方法数是多少（是n）．其余情况，只是类似地从n－1个元素中取1个放在第二个位置，从n－2个位置取1个放在第三个位置，…，最后，从n－m+1个元素中取1个放在第m个位置而已．递推，是数学中重要思考问题的方法，的推导可以从递推的角度思考：欲求可以分两步走，第一步放第一个位置，第二步放其余位置．第一步，有种方法，第二步，则转化为求．于是，得到一个递推关系．由此，递推下去，即可得到所求公式．走分类的路子，还可以这样想：从n元素中取

4、出m个元素的排列，可以分成两类，某元素在某位置的，与某元素不在某位置的．两类分别有和（n－1）种．依加法原理有=+（n－1）．显然，这也是一个递推公式．由此，也可以得到所求公式．从中可以看出，数学中解决问题的思路常常不唯一，因此，思维应该活跃，努力寻求多种解决问题的方法．当然，思路是有优劣的，应该根据自己的情况进行辨别．推导组合数公式，关键是抓住“化归”思想的运用．把求组合问题转化为已经会求的排列问题．为此，需要找到联结新与旧的桥梁．桥梁何处找？自然要从排列与组合的关系中去找．从局部看，一个含m个元素的组合，可以派生出个排列；反之，含同样m个元素的个排列，在组合中

5、只算一个组合．示意地，可以表示为一个组合==个排列从整体看，要想得到全部个排列，可以分两步走：“先分组，后排队”，即先作出从n个元素中每次取m个的全部组合，后对每个组中的m个元素进行全排列．第一步，可以得到组合个；第二步，由上述局部关系知道，每一个组合可以派生个排列．由乘法原理可知=．变形，可得=．顺便，从组合公式中还可以看出，除以具有除去顺序的作用．对此，人们简称为“去序”作用．对于公式的学习，还应该注意几点：一是，要注意对公式结构的掌握．由于排列组合部分的公式较多，这一点显得更加突出，如中，右边，①有m个因式；②最大的因式是n；③因数依次小1；④最后一个因式是

6、n－m+1．二要熟悉公式的各种变形，如，等等．三是要努力追究公式各种变形的实际背景．因为，公式的“形”与“实”是相互呼应、相互统一的．4．两个性质．两个性质，这里是指，定理1；定理2．定理1，从式子及实际意义两个方面的推证都不难．应该从中体会更深刻的“补集思想”和“对应思想”才是．定理2，可以更明确地引用集合的观点，并适当使用与等符号去予以解释，以便了解公式中包含的思维过程．的意义是从n+1个元素中取m个元素的组合数．设被取的n+1个元素的集合为把它分成两个子集：A=与B=.从n+1个元素中取m个元素的组合有且仅有两类：一类含，另一类不含．含的一类，可以分两个步骤

7、得到：①从A中选1个元素，②从B中选m－1个元素．前者，有种方法，后者，有种方法．依乘法原理，含有含的组合有（即）种．不含的一类，从A中选0个元素，从B中选m个元素，有种．根据加法原理，两类相加得，即．前式整齐而意义更加明显：其每一项下标的和均为n+1，是被取元素有n+1个的标志；其每一项的上标的和均为m是所取元素有m个的体现．在上述解释中，如果不是分成只含与不含的两个集合，而是分成含有某r个元素与不含有这r个元素的两个集合，会有什么结果？如果不是分成两个集合，又会如何？这些问题，都可以引导学生思考．