2020版高考数学复习第五章平面向量与复数5.4平面向量的综合应用教案理（含解析）新人教A版

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1、§5.4　平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题平行向量基本定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1

2、)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义

3、a

4、＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而

5、利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝

6、F

7、

8、s

9、cosθ(θ为F与s的夹角).4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.概念方法微思考1.根据你对向量知识的理解，你认为

10、可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示　(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.2.如何用向量解决平面几何问题？提示　用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若∥，则A，B，C三点共线.(　√　)(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形.(　×　)(

11、3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形.(　√　)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)题组二　教材改编2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案　B解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，∴

12、

13、＝＝2，

14、

15、

16、＝＝4，

17、

18、＝＝6，∴

19、

20、2＋

21、

22、2＝

23、

24、2，∴△ABC为直角三角形.3.平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________.答案　x＋2y－4＝0解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.题组三　易错自纠4.在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________.答案　－或或解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－；②若B＝90

25、°，则有·＝0，因为＝－＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝.综上所述，k＝－或或.5.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________.答案　5解析　依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四边形ABCD的面积为

26、

27、·

28、

29、＝××＝5.6.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则·的最大值为________.答案　6解析　方法一　由题意知，＝

30、(2,0)，令P(cosα，sinα)，则＝(cosα＋2，sinα).·＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故·的最大值为6.方法二　由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.题型一　向量在平面几何中的应用例1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.答案　12解析　(1)方法一　因为·＝2