流体及流动性模型

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1、流流流体体体及及及流流流动动动模模模型型型Abstract:介绍流体的相关概念，流体本构方程的推导Keywords:牛顿流体、非牛顿流体1Introduction我们一直都问，学数学有什么用？这时我们应当知道的是那些地方可以用到数学，再者就是如何用数学去解决实际问题。而我们所学的数学知识就是联系这两点的桥梁。数学好比是鱼身子，或者说鱼干，而从实际中提炼出数学问题是鱼头，应应应用用用数数数学学学方方方法法法或或或理理理论论论去去去解解解决决决实实实际际际问问问题题题是是是鱼鱼鱼尾尾尾。。。我我我们们们所

2、所所应应应用用用的的的数数数学学学建建建模模模恰恰恰好好好就就就是是是这这这样样样的的的一一一门门门课课课程程程，，，可可可以以以贯贯贯穿穿穿问问问题题题的的的所所所有有有环环环节节节。。。简简简而而而言言言之之之，，，数数数学学学建建建模模模就就就是是是应应应用用用数数数学学学理理理论论论，，，根根根据据据实实实际际际问问问题题题的的的内内内在在在规规规律律律，，，做做做出出出必必必要要要的的的简简简化化化假假假设设设，，，得得得到到到一一一个个个数数数学学学结结结构构构。。。数学向各个领域的渗透是

3、当代数学发展的一个重要特点，更是我们学习数学建模的必要。流体之所以异于固体，在于液体比较容易移动，要想改变固体的形状，必须要施加一定的力，也就是克服固体间不同的层之间的摩擦力。然而要改变流体的形状，相当得容易.对于流体的运动，流体间的摩擦力（切向力）与流体的粘性这一性质有关.如果没有切向力，那么流体与固体壁面间的界面上存在着相对的切向速度差，这即存在滑移，相反，真实的流体中分子间引力的存在，使得流体附在固壁上并产生切应力。在流体的很薄的一层中速度的变化很大，如果来讲，可以这样说，水平方向的速度沿垂直方

4、向的变化很大.那么什么是粘性：考虑两个非常长的平行平板间的流体运动，其中一块静止，另一块平板则做等速运动，两平板间的距离为h.从实验结果来看，流体附在两个壁面上，这样，下壁面的速度为零，上平板上的流体的速度等于该平板的速度，而且平板间的流体的速度分布是线性的，则流体的速度正比于它到下平板的距离y。即u(y)=yU.为了维持运动，必须对流h体施加一个力，这个力与流体的摩擦力相平衡（平板上单位面积上的作用力）du=U。实dyh验表明，这样的一个力应该正比于上平板的速度，反比于两平板的距离.这样单位面积上的

5、力，记为切应力du=.这个比例系数，取决于流体的性质,这也是分子间的作用力（粘性dy系数），对于一些流体，如水和酒精，很小，然而对于另外一些流体，如石油等，则非常大。1这个定律称之为Newton摩擦力定律，满足这个关系（剪切应力和剪切变形速率）的流体，称牛顿流体.否则称之为非牛顿流体.这个系数一般和流体的温度有关，所以在有些情况下把该系数定义为温度的函数，而且液体粘度会随着温度的升高而迅速减小.比较典型的表达式有(T)=exp(−T);(T)=exp(−T−Tw)等等（M.M.Khader,

6、A.M.Megahed.1+T∞Tw−T1Ukr.J.Phys.2013,58(4)）而气体的粘度则随温度变化的规律表现出相反的趋势.而且，牛顿流体和非牛顿流体体现了不同的特征。某些原本被认为是牛顿流体的介质在精细的观测或特殊的情况下也被发现存在非牛顿流体的特性。例如：在水锤这一类瞬变运动中，由于特征时间比较短，水也会在瞬间呈现出弹性等非牛顿流体才可能存在的特征。在非牛顿现象中，比较典型的是黏弹性流体的Weissenberg效应，当即当圆杆旋转时,牛顿流体的液面向下凹,但黏弹性流体的液面会沿圆杆向上

7、爬升。液滴飞溅形成的王冠也有不同的特征。尽管自然界的流动是如此地复杂，但是控制流体运动的基本物理定律却是简单的质量守恒、动量守恒和能量守恒定律。体积力（质量力）作用于流体质量上的非接触力，如重力（地心引力）；面积力：为流体或者固体通过接触面施加在另一部分流体上的力，它是流体在运动过程中作用在流体内部假想的面积上的由于流体的变形和相互作用而在流体的内部产生的各种应力。在方程中出现时间说明密度是可以随着空间和时间变化的.=∞(1−(T−T∞)).(Int.J.heatmassTransfer,28(1

8、)(1985)199-206).2Figure2:Newtonian uidsFigure1:Non-Newtonian uidsFigure3:Weissenberg效应2质质质量量量守守守恒恒恒在涉及到微分方程或者偏微分方程的模型构建的过程中，经常用到两个经典的数学公式f(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+o(x);000(2.1)@f@ff(x;y)=f(x0;y0)+(x0;y0)(x−x0)+(x0;y0)(y−y0)+o()@x@y这两