高中数学 从集合大小的定义到数学结构素材

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1、从集合大小的定义到数学结构一、古怪的定义“自然数和正偶数，哪一种数更多？”（正偶数是指能被2整除，大于零的自然数。本文中规定0不是自然数。）“自然数和正偶数一样多，因为将n和2n对应就可以得到自然数到正偶数的一个一一对应。既然每一个不同的自然数都对应而且只对应一个不同的正偶数，所以自然数和正偶数一样多。”许多朋友会这样说，这当然是对的；但是也有许多朋友会觉得奇怪，并非所有的自然数都是正偶数，而所有的正偶数却都是自然数，它们怎么会一样多呢？特别是，自然数的个数应该是正偶数的两倍才对！关于用一一对应的方法来

2、判断两个集合之间的大小关系，已经有许多文章谈过了，我只在这里再简单地重复一遍：给定两个集合A和B，1)如果存在A到B的一个单射f:A→B（也就是说A和B的一个子集有一一对应），那么我们称A的“基数”（或“势”）不大于B的“基数”，简称A不大于B，或A中元素个数不多于B中元素；2)如果存在A到B的一个一一对应f:A→B，那么我们称A和B的“基数”相同，简称A和B一样大，或A中元素个数和B中元素个数相同；3)（施罗德-伯恩斯坦定理）如果A不大于B，且B不大于A，那么A和B一样大。由这个定义可以得出一些推论：

3、1)任何一个无限集都至少和自然数集合一样大；2)两个集合的并集同这两个集合中比较大的那个一样大，特别地，两个同样大小的集合的并集和它们本身一样大；3)两个集合的积集同这两个集合中比较大的那个一样大。但是这种判断集合大小的方法得出的结论，比如说上面所说的“自然数和正偶数一样多”，甚至于“自然数和有理数一样多”，或者“一条直线上的点的个数和一个平面上的点的个数一样多”，总会让不熟悉集合论的人感到很别扭，一个集合的一部分怎么会和自己一样大？欧几里得的第五公理说：“整体大于部分。”在《几何原本》中，公理的地位要

4、高于公设，前者是“放之四海而皆准”的，而后者却只是几何（也就是当时的数学）中的“不证自明”的命题。欧几里得也搞错了？数学家们为什么不按照符合大家直觉的方法来规定集合的大小？他们似乎喜欢故意发明出一些和常识相悖的稀奇古怪的概念和方法，让人上当后自己却在暗地里窃窃偷笑别人的不高明。这可就冤枉了数学家们，如果有既符合常识和直觉，又严格且有用的关于集合大小的定义，数学家一定是非常乐意接受的。但是如果这种“常识”只是象爱因斯坦所言的，是“十八岁以前所积累的偏见”，那么就不适合于作为严格的数学定义了。我想首先讨论一

5、下数学家被迫采用一一对应的方式来比较集合大小的原因。二、集合大小定义的几个基本要求作为集合大小的定义，应该满足什么样的基本要求？我们当然要尽可能地使它符合一般的关于“大小”的常识和直觉，其中有许多是要比“整体大于部分”更加要紧的。首先，一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比如说，A=｛小于等于2的正整数｝B=｛1,2｝C=｛x2-3x+2=0的根｝其实都是同一个集合，D=｛n

6、n为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整数解｝又怎么样呢？1996年英

7、国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。我们记得，一个集合由它所含的元素唯一决定，所以它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应该取决于它本身。一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的；其次，如果集合A不小于（也就是说或者大于，或者一样大）集合B，而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的；第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必须不小于集合C。在数学上，我们称满足这三个条件的关系为“偏

8、序关系”（注：严格地说，这个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按“一样大”这个等价关系定义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别，但这些问题在这里并不要紧，你如果看不懂这个注在讲什么也不要紧）。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一，这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义！举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。如果我喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳，而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜欢阿西莫夫

9、。不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比，但是“喜欢”是一种很个人的事情，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感兴趣──所以似乎不能说我更喜欢克拉克，但也不能说我更喜欢刘慈欣，而且也不能说同样喜欢，因为喜欢的地方不一样──所以更确切地也许应该说，他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性，有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较，比方说我喜欢阿西莫夫胜过