线性代数向量的线性相关性

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1、第二节向量的线性相关性一线性相关性三应用举例二判别准则一、向量的线性相关性1、基本概念定义Ⅰ给定向量，对于任何一组数,称向量为向量组的一个线性组合（LinearCombination）.为组合的组合系数（CombinationCoefficient）.定义Ⅱ设向量组及向量β有关系则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ线性表示(线性表出)（LinearExpression）.称为β在该线性组合下的组合系数.①若α＝kβ，则称向量α与β成比例．②零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．④任一n维向量都是基本向量组的一个线性组合．⑤向量β可由线性表示，即方程组事实上，有③向量组中每一向量都可由

2、该向量组线性表示．有解.定义Ⅲ设n维向量组为零的数，使得则称向量组,如果存在不全线性相关（LinearDependent）.反之，若当且仅当，才有则称向量组线性无关（LinearIndependent）.②单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．③单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．④一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．①对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．⑤一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关．⑧几何上：两向量线性相关两向量共线；⑥两向量线性相关两向量对应成比例三向量线性相关三向量共面.⑦两向

3、量线性无关两向量不对应成比例注意：向量组线性相关性完全由方程组的解决定.二、线性相关性的判断准则定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.推论n个n维向量线性相关.推论n个n维向量线性无关.向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示．定理向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示．定理证∵Ａ线性相关，得证至少有一个系数不为零，不妨设定理如果向量组线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.线性无关，而向量组证设∵Ａ线性无关，而向量组B线性相关，∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）∴α可由Ａ线性表示.下证唯一性：两式相减有∵Ａ线性无关，

4、即表达式唯一.即有设定理设向量组若Ａ线性相关,则向量组B也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组Ａ也线性无关.定理设向量组若Ａ线性无关，则向量组B也线性无关；反之，若向量组B线性相关，则向量组Ａ也线性相关.其中注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数变.1、设向量组线性相关，则.2、设向量组线性无关，则必满足.三、应用举例则（）A、必可由线性表示；B、必可由线性表示；C、必可由线性表示；D、必不可由线性表示.3、若向量组线性无关，线性相关，