平面问题的基本理论

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1、第二章平面问题的基本理论要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等主要内容§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程刚体位移§2-5斜方向的应变及位移§2-6物理方程§2-7边界条件§2-8圣维南原理§2-9按位移求解平面问题§2-10按应力求解平面问题相容方程§2-11常体力情况下的简化§2-12应力函数逆解法与半逆解法§2-1平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，

2、工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。常截面长柱体——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——

3、沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为

4、xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；§2-2平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DXYZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：X，YAC面：BC面：注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODXY由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有——剪应力互等定理PBACxyODXY两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：平面问题的

5、平衡微分方程：（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY前次课内容回顾：(1)绪论：弹性力学的研究内容；基本概念；基本假定；研究方法。(2)两类平面问题：(3)平面问题的平衡微分方程：（2-2）(4)斜面上的应力：平面应力问题平面应变问题几何特征;受力特征;应力特征。几何特征;受力特征;应变特征。(a)任意斜面上应力或§

6、2-3斜面上的应力主应力1.斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN设P点的应力分量已知：斜面AB上的应力矢量:s斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：由微元体平衡：整理得：（2-3）整理得：（2-4）外法线xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正应力与剪应力（2-3）（2-4）将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：（2-5）（2-6）说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。——任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边界S，则——平面问题的应力边界条件2

7、.一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNN（1）主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；当时，有求解得：（2-7）——平面应力状态主应力的计算公式主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；由式（2-7）易得：——平面应力状态应力第一不变量（2）应力主向设σ1与x轴的夹角为α1，σ1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，则设σ2与x轴