数字信号处理课件2

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1、数字信号处理课件第2章刘益成数字信号处理第2章©20042-1序列的Z变换2-2序列的傅里叶变换2-3离散时间系统变换域分析2-4希尔伯特变换第二章离散时间信号与系统的变换域分析数字信号处理第2章©20042.1.1Z变换的定义2-1序列的Z变换对抽样信号进行拉氏变换得：数字信号处理第2章©2004*将x(nT)记为x(n)，得上式为序列x(n)的双边z变换*若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n<0则有为序列x(n)的单边z变换数字信号处理第2章©20042.1.2Z变换的收敛域对于任意给定

2、的序列x(n)，使Z变换收敛的所有z值得集合称为X(z)的收敛域。其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即数字信号处理第2章©2004根据级数收敛的阿贝尔定理对于不同的序列x(n)，可求得相应的收敛域，下面分别予以说明。数字信号处理第2章©20041.有限长序列x(n)仅在有限长的时间间隔n1≤n≤n2内，序列值不全为零，其它时间全为零，即其Z变换式为收敛域为数字信号处理第2章©20042.右边序列x(n)在n≥n1时，序列值不全为零，在n

3、数字信号处理第2章©20043.左边序列x(n)在n>n2以外序列值全为零，仅在n≤n2时有非零值，其z变换为收敛域为数字信号处理第2章©20044.双边序列双边序列的序列值n可取任何整数值，其z变换为收敛域为左边序列与右边序列的重叠部分，如果，,则整个序列收敛域为如果级数没有公共收敛域，则Z变换不存在。数字信号处理第2章©2004如果序列Z变换可表达成有理分式的形式:称分子多项式的零点为X(z)的零点，分母多项式的零点为X(z)的极点，因为极点z变换不存在，因此在收敛域内应没有极点，故可通过取X

4、(z)的极点为边界来确定其收敛半径。数字信号处理第2章©2004例2-1-1求单位阶跃序列u(n)的z变换，并确定其收敛域。解：由于u(n)为因果序列，其Z变换收敛域为，因函数在z=1处有一极点，极点应在收敛域外，因此可取，求得u(n)的z变换收敛域为。数字信号处理第2章©2004例2-1-2求序列解：这是一个双边序列，其Z变换为的z变换及收敛域。上式第二项为因果序列的z变换，极点为z=a，第一项为左边序列，z变换极点为，综合的。数字信号处理第2章©20042.1.3逆Z变换从给定的z变换表达式(

5、包括收敛域)求原程序的过程，称为逆z变换。实质上是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。求逆z变换常用以下3种基本方法：*围线积分法*部分分式展开法*长除法(或幂级数展开法)数字信号处理第2章©20041.围线积分法根据复变函数中的柯西积分公式式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。在Z变换的定义式中两边同乘以zk-1，并作围线积分，得利用柯西积分公式，当n=k时，得到X(z)的逆Z变换公式如下数字信号处理第2章©2004若被积函数X(z)zn-1是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分。

6、根据留数定理，x(n)等于围线C内全部极点留数之和，即如果X(z)zn-1还满足在有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有{ak}是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点{bk}是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点数字信号处理第2章©2004如果zk为单阶极点，按留数定理如果zk为m阶极点，则其留数为在具体利用留数定理进行计算围线积分时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题简化。例如，在n小于某一值时，在z=0在围线内部可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极

7、点进行计算将方便得多。数字信号处理第2章©2004,求原序列x(n)例2-1-3已知序列的Z变换为解:并且当时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得由于收敛域为，可知该序列必定是因果序列。数字信号处理第2章©2004例2-1-4已知序列的Z变换为求原序列x(n)解由于收敛域为环域，知x(n)必为双边序列,其被积函数为例2-1-4被积函数的极点数字信号处理第2章©2004在收敛域内，作包围原点的围线，当时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为当n<0时，被积

8、函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1，因此有综上可得数字信号处理第2章©2004部分分式展开法用于求序列的Z变换为下述有理分式形式时的逆Z变换。2．部分分式展开法若假定序列为因果序列，则一定有N≥M。当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式数字信号处理第2章©2004其中zk为X(z)的单极点,Ak(k=0,1…,N)为常数。A0对应的序列为δ(n)，由例2-1-3知，求和式