2019-2020年高三上学期期中联考数学试题（普通班）

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1、2019-2020年高三上学期期中联考数学试题（普通班）一、填空题(每小题5分，共70分)1.已知集合，则=★.2.“对一切，恒成立”的否定是★.3.已知抛物线的准线与双曲线左准线重合，则的值为★.4.设向量满足且，则向量与的夹角为★.5.已知等比数列的公比，则的值为★.6.函数的最小正周期为★.7.已知，且，则的取值范围是★.8.已知，则=★.9.函数的零点个数为★.10.设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则值为★.11.已知函数设，且，则=★.12.已知且，则最小值是★.13.已知两个等差数列与的前n项的和，，则使得为整数的

2、正整数n的个数是★.14.已知函数，若对区间任取两个不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是★.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(本小题满分14分)已知的三个内角对应的边长分别为，向量与向量的夹角的余弦值为.⑴求角的大小；⑵若，求的取值范围.16.(本小题满分14分)如图①，，分别是直角三角形边和的中点，，沿将三角形折成如图②所示的锐二面角，若为线段中点．求证：（1）直线平面；ＡＢＣＥＦ图①（2）平面平面．ＢＣＥＦＭ图②17.（本小题满分15分）已知椭圆的两准线间距离为6，离心率.过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH

3、（H为垂足），并延长PH到Q，使得．为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为.（1）求椭圆方程；（2）当点P在椭圆上运动时，求的值使得点Q的轨迹是一个定圆.18.(本小题满分15分)在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和四个侧面的长方体).该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他

4、们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.19.(本小题满分16分)已知数列中，，点在直线上.⑴计算；⑵令，求证：数列是等比数列；⑶设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数,其中为非零常数(1)求函数的解析式；(2)当时，判断函数的单调性并且说明理由；(3)证明：对任意的正整数,不等式恒成立．阜、

5、丰、建高三期中考试(普通班)参考答案1.2.3.24.5.6.7.8.9.210.311.112.13.5个14.15.解：⑴因为，，，所以.……………………4分由得，即.……………………7分⑵因为，所以.所以…………………10分又，所以.所以………12分又，所以.……………………14分16.证明：（1）取中点，连接，则,,所以，所以四边形为平行四边形，所以∥，……4分又因为，所以直线平面．……………………………………………7分（2）因为，分别和的中点，所以，所以…9分同理，,由（1）知，∥，所以又因为,所以,……………………………

6、12分又因为所以平面平面．………………………………………14分17.解：（1）………………………………………………………6分(2)设Q的坐标为，，∴.∵∴,∴…………………………9分又∵，∴，即…………12分当且仅当，即时，点Q在定圆上.……………………………………………15分18.解：(1)设切去的小正方形边长为，则焊接成的长方体的底面边长为，高为，所以，……………………4分∴.令，即，解得(舍去)，……………………7分∵在内只有一个极值点，∴当时，取得最大值，即不符合要求.……………………9分(2)重新设计方案如下：如图3，在正

7、方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图4，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图5，将图4焊成长方体容器，新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积，显然.故第二种方案符合要求.……………15分19.解：(1)点在直线上，则，所以.……………………3分(2)由得，则，即.因为且，所以是以为首项，为公比的等比数列.……………………8分(3)由(2)得，则.……………………9分因为，所以，所以.……………………11分又时，，故.所以………………12分记，要使得数列为等差数列，只要为常数，因为.所以

8、，所以.当时，为常数.故存在实数，使得数列为等差数列.………………16分(注：1.不讨论n=1扣1分，2.第(3)题也可以由解出，既而验证，成等差数列)20.解：（Ⅰ）设，的图象经过坐标原点，所以c=0.∵∴即：∴a=1,b=0,；…