2020版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第五节古典概型与几何概型学案

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1、第五节　古典概型与几何概型2019考纲考题考情1．古典概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的。②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。(2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。(3)古典概型的概率公式P(A)＝。2．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。(2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝。1．古典概型中的基

2、本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法。2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0。3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关。4．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。一、走进教材1．(必修3P127例3改编)掷

3、两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)A.B.C.D.解析　所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个。故所求概率为P＝＝。故选B。答案　B2．(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)解析　如题干选项中各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝。故选A

4、。答案　A二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)A.B.C.D.解析　不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数，共有C＝45(种)取法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种取法，

5、故概率为＝。故选C。答案　C4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)A.B.C.D.解析　设正方形的边长为2，则圆的半径为1，正方形的面积为4，圆的面积为π，根据对称性关系，黑色部分面积是圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为。根据几何概型的概率公式，得此点取自黑色部分的概率为P＝＝，故选B。答案　B三、走出误区微提醒：①几何概型中长度型与角度型区分

6、不清；②古典概型中分类不清。5．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为________。解析　当AA′的长度等于半径的长度时，∠AOA′＝，由圆的对称性及几何概型得所求概率P＝＝。答案　6．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为________。解析　要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个实根，则Δ＝4a2－4

7、b2>0，又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为＝。答案　考点一简单的古典概型问题　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】　(1)(2018·福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然

8、不会是最差的”。从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)A.B.C.D.(2)(2019·广东深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)A.B.C.D.解析　(1)因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故选B。(2)两个分3本书共有2CC＋2＝8种分法，其中一人没有分到书，另一人分得3本有2种情况。