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《2020版高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四 渐开线与摆线课时过关·能力提升基础巩固1若基圆的直径为5,则其渐开线的参数方程为( )A.x=5(cosφ-φsinφ),y=5(sinφ-φcosφ)(φ为参数)B.x=5(t-tcosθ),y=5(1-sinθ)(t为参数)C.x=52(cosφ+φsinφ),y=52(sinφ-φcosφ)(φ为参数)D.x=52(sinφ-φcosφ),y=52(cosφ-φsinφ)(φ为参数)解析因为基圆的直径为5,所以它的半径为52.代入圆的渐开线的参数方程,知选项C正确.答案C2给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程
2、不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④解析对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着坐标系选择的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看
3、选取的坐标系的位置.答案C3下列各点中,在圆的摆线x=φ-sinφ,y=1-cosφ(φ为参数)上的是( )A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0)答案D4当φ=2π时,圆的渐开线x=11(cosφ+φsinφ),y=11(sinφ-φcosφ)(φ为参数)上的点是( )A.(11,0)B.(11,11π)C.(11,-22π)D.(-π,22π)解析当φ=2π时,代入圆的渐开线方程,得x=11(cos2π+2π·sin2π)=11,y=11(sin2π-2π·cos2π)=-22π.故所求点为(
4、11,-22π).答案C5已知圆的渐开线的参数方程是x=cosθ+θsinθ,y=sinθ-θcosθ(θ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是 ,当参数θ=π4时对应的曲线上的点的坐标为 . 解析由圆的渐开线的参数方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.把θ=π4代入渐开线的参数方程,得x=22+2π8,y=22-2π8,由此可得对应点的坐标为22+2π8,22-2π8.答案2 22+2π8,22-2π86已知渐开线x=6(cosφ+φsinφ),y=6(sinφ-φcosφ)(φ为参数)的基圆的圆心为原点,把基
5、圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的焦点坐标为 . 解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的方程为12x2+y2=36,整理可得x2144+y236=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c=a2-b2=144-36=63,故焦点坐标为(63,0)和(-63,0).答案(63,0)和(-63,0)7当φ=π2时,圆的摆线x=4φ-4sinφ,y=4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 . 解析把φ=π2代入参
6、数方程求解即可.答案(2π-4,4)8求摆线x=2(t-sint),y=2(1-cost)(t为参数,0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解当y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t≤2π,∴t=π2或3π2.∴x1=2π2-sinπ2=π-2,x2=23π2-sin3π2=3π+2.故交点坐标为(π-2,2),(3π+2,2).能力提升1已知圆的摆线的参数方程为x=2(φ-sinφ),y=2(1-cosφ)(φ为参数),则它的一个拱的宽度和高度分别为( )A.4π,2B.2π,4C.2π,2
7、D.4π,4解析由摆线的参数方程可知,产生摆线的圆的半径r=2,又由摆线的产生过程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长,即为2πr=4π,摆线的拱高等于圆的直径4.答案D2已知一个圆的参数方程为x=3cosθ,y=3sinθ(θ为参数),则在圆的摆线的参数方程中与参数φ=π2对应的点A与点B3π2,2之间的距离为( )A.π2-1B.2C.10D.3π2-1解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为x=3(φ-sinφ),y=3(1-cosφ)(φ为参数).把φ=π2代入参数方程,得x=3π2-1,y
8、=3,即A3π2-3,3,所以
9、AB
10、=3π2-3-3π22+(3-2)2=10.答案C★3如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线段AEFGH的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析根
