应用多元分析第7章主成分分析

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1、计划学时：4学时教学课型：理论课教学目的与要求：理解主成分的概念，掌握主成分分析的基本方法教学重点：主成分分析的方法教学难点：主成分分析的方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：主成分概念首先由KarlParson在1901年引进，当时只对非随机变量来讨论的。1933年Hotelling将这个概念推广到随机变量。第七章主成分分析(Principalcomponentanalysis)§7.1引言在多数实际问题中，不同指标之间是有一定相关性。由于指标较多及指标间有一定的相关性，势必增加分析问题的复杂性。主成分分析就是设法将原来指标重

2、新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标。同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息。主成分分析是考察多个数值变量间相关性的一种多元统计方法，它是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差—协方差结构。导出几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间不相关。一、主成分分析的基本思想将原来众多具有一定相关性的指标重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。以两个指标为例，信息总量以总方差表示：Principalcomponentin2d二、几何解释x1x2y1y2旋转变换的目的是为了使得n个样本点在

3、y1轴方向上的离散程度最大，即y1的方差最大，变量y1代表了原始数据的绝大部分信息，在研究某经济问题时，即使不考虑变量y2也损失不多的信息。y1与y2除起了浓缩作用外，还具有不相关性。y1称为第一主成分，y2称为第二主成分。推广开来，对于p维总体，寻求正交变换，使得在所有正交变换中，所选正交矩阵U，使最大；与不相关；并且在所有与不相关的变量中最大；与、不相关，同时在所有与、不相关的变量中最大；依次类推。为总体的主成分，为第一主成分，为第二主成分…三、主成分分析的数学原理对原有变量作坐标变换，要求满足：如果z1=u1’x满足则称z1为第一主成分.如果z2=u2’

4、x满足则称z2为第二主成分.…§7.2总体的主成分设为一p维随机向量，其二阶矩存在，记为的特征值，为相应的单位特征向量，且相互正交。则yi为第i个主成分。一、主成分的导出二、主成分的性质1、主成分的均值与协方差记2、主成分的总方差3、原始变量与主成分的相关系数4、m个主成分对原始变量的贡献率的复相关系数的平方称为m个主成分与其特征值为相应的特征向量为0.0000.8550.0000.9961.0001.000-0.9250.8550.9980.9960.0000.000123IProciml;X={1-20,-250,002};Val=eigval(x);Ve

5、c=eigvec(x);D=1:2;B=(val)[d,1];c=(vec)[,d];F1=(sqrt(inv(diag(X)))*vec*sqrt(diag(val)))[,d];F2=(f1#f1)[,1];F=diag(c*diag(b)*t(c))*inv(diag(x))*j(3,1);Printvalvecbcf1f2f;VALVECBC5.8284271-0.38268300.92387955.8284271-0.382683020.923879500.382683420.923879500.171572901001F1F2F-0.9238800

6、.85355340.85355340.997484200.99497470.99497470101Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;1-20-250002;Procprincompcov;Run;ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables3TotalVariance8EigenvaluesoftheCovarianceMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative15.828427123.828427120.72860.728622

7、.000000001.828427120.25000.978630.171572880.02141.0000EigenvectorsPrin1Prin2Prin3x1-.3826830.000000.923880x20.9238800.000000.382683x30.0000001.000000.000000主成分分析在经济指标综合评价中的应用核心：通过主成分分析，选择m个主成分y1,y2,…,ym，以每个主成分yi的方差贡献率αi作为权数，构造综合评价函数，其中为第i个主成分的得分（求出主成分的表达式后，将标准化后的数据再代入yi中）当把m个主成分得分代入

8、F函数后，即可得到每个样本的综合评价函