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《Bourgain空间的性质【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业设计文献综述数学与应用数学Bourgain空间的性质函数空间理论向来受到分析学家和微分方程.计算数学等理论研究人员的重视,函数空间的完备性、嵌入性质、插值性质等在Fourier分析、变分法、微分方程适定性、微分方程数值解等方面发挥着重要的作用,是分析学的重要研究内容.非线性发展方程初值问题和初边值问题的适定性是一个具有重要理论意义的研究课题,已有长久的研究历史,一直很受人们的重视.迄今人们已发展了许多方法来研究这个课题,比如Galerkin方法,积分方程方法,半群方法等.但无论采用哪个途径,早期的研究都对初值的要求比较强,一般都要求初值具有较高的正则性,即要求为较大的正整
2、数,有些还要求初值的范数非常小或者初值具有紧支集等等.1993年Bourgain在[1]中,借助于Fourier变换在超曲面和低维流形上的限制,引进了一种适合于研究初值具有低正则性的局部适定性-即初值在负指标Sobolev空间中的初值问题局部适定性-的方法,现在一般称为Bourgain方法,其主要思想是把工作空间由型的函数空间替换为另一类含时-空变元的函数空间,即所谓的Bourgain空间.至此,微分方程适定性研究进入了一个空前繁荣的时期,见[2-4].此后已被推广到一般的色散方程,例如KP方程、Kawahara方程、Ostrovsky方程,以及各种色散方程组,例如Navie
3、r-Stokes方程组、Maxwell方程组、色散长波方程组等.2001年-2002年间,Molinet,Ribaud在[5-6]中将Bourgain方法用于色散-耗散型方程的低正则适定性的研究,获得了DissipativeKdV方程和KdV-Burgers方程的低正则适定性结果.此时的Bourgain空间的定义中包含耗散项的信息.根据摄动理论,高阶的耗散项可以改善方程的适定性,事实证明修正Bourgain空间的定义有助于改善双线性估计.此外,我们知道类似Sobolev空间,Bourgain空间通常都是基于模的方式定义的,但Grünrock在[7]中按照模的方式修正了这个定义
4、,获得了一些新的结果.Bourgain空间自引进以来得到十分广泛的应用,例如[1]、[5-10].但是,作为函数空间1,Bourgain空间的性质没有得到系统的研究,除[7]研究过一类特殊的Bourgain空间的插值性质,嵌入关系之外,所见结果不多.鉴于这种研究现状,本论文拟在[1]和[5-7]的基础上,利用[11]的方法系统研究Bourgain空间的基本性质,为它在偏微分方程中的应用奠定坚实的基础.参考文献[1]J.Bourgain.Fourriertransformrestrictionphenomenaforcertainlatticesubsetsandapplica
5、tionstononlinearevlutionequations[J],PartI:TheSchrödingerequation,PartII:TheKdVequation,Geom.Funct.Anal.,1993,3:107~156,209~262.[2]D.Ionescu,C.E.Kenig.Globalwell-posednessoftheBenjamin-Onoequationinlowregularityspaces[J],JournaloftheAmericanMathematicalSociety20,2007,753~798.[3]D.Ionescu,C.
6、E.Kenig.Complex-valuedsolutionsoftheBenjamin-Onoequation[J],ContemporaryMathematics428,2007,61~74.[4]Kenig,C.E.,Ponce,G.,Vega,L.:OscillatoryIntegralsandRegularityofDispersiveEquations[J],IndianaUniv.Math.J.,1991,40:33~69.[5]L.Molinet,F.Ribaud.TheCauchyproblemfordissipativeKorteweg-deVrieseq
7、uationsinSobolevSpacesofnegativeorder[J],IndianaUniv.Math.J.,2001,50(4):1745~1776.[6]L.Molinet,F.Ribaud.TheglobalCauchyprobleminBourgain'stypespacesforadispersivedissipativesemilinearequations[J],SIAMJ.Math.Anal.,2002,33(6):1269~1296.[7]Grünrock.Animprov
