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1、毕业设计文献综述数学与应用数学有关Frenet公式的探讨曲线与曲面是微分几何中最基本的讨论对象,平面曲线在一点的曲率与空间的曲线在一点的曲率等是微分几何中重要的讨论内容,也是微分几何曲线理论形成的主要出发点.在微分几何领域,曲线与曲面作为主要研究对象,有着极其广泛的应用.微分几何学以光滑曲线及曲面作为研究对象,所以整个微分几何学由曲线的弧线长,曲线上一点的切线等概念展开.由于微分几何研究一般曲线与一般曲面的有关性质,因此空间曲线,平面曲线在一点的曲率与空间的曲线在一点的曲率等是微分几何中重要的讨论内容,这也是微分几何
2、曲线理论形成的主要出发点.在三维欧氏空间中,曲线与曲面的几何理论以及曲面的内蕴几何历史悠久,内容丰富,对它的研究始于微积分在几何的应用.在微积分发明的同时,人们就开始了平面曲线微分几何的研究,而第一个作出重要贡献的是Euler（1707~1783）.他在1736年引进了平面曲线的内在坐标,也就是曲线弧长这一概念,从而开始了内在几何的研究.此外,Euler将曲率描述为某一特殊角的变化率.同时,他在曲面论方面也有重要贡献,特别值得一提的是他在测地线方面的一些研究,最早把测地线描述为某些微分方程组的解.其后,在物理问题的推
3、动下,1736年Euler证明了:在无外力作用的情况下,一个质点如约束在一曲面上运动,它必定是沿测地线运动.到17世纪末,关于平面曲线的研究已得到许多结果.Monge对微分几何的早期发展做出了重要的贡献.此外,Gauss关于曲面的理论建立了基于曲面第一基本形式的几何,并把欧氏几何推广到曲面上弯曲的“几何”,使得微分几何真正成为一个独立的学科.18世纪,空间曲线与曲面的理论得到了主要发展.F.Frenet与JosephSerret分别在1847,1851年各自独立导出了Frenet-Serret方程,使得空间曲线论得到
4、最终统一,也就是我们今天熟知的Frenet公式.1854年,Riemann在著名的演讲上把Gauss的理论推广到高维的空间,Riemann几何就此诞生;Riemann的思想引起了许多工作者来处理与发展他的新几何,经过Christofell,Beltrami以及随后的Bianchi,Ricci与LeviCivita等人的努力,欧氏空间中的曲线与曲面的几何理论在19世纪末己蓬勃发展起来.经典初等的微分几何主要讨论三维欧氏空间中曲线与曲面的局部性质,它的研究方法一般有三种,一种是以向量分析为工具,一种是采用Cartan的活
5、动标架法,另一种是以张量分析为工具.在研究空间中的曲线与曲面的局部性质时,经常以向量分析为工具,致使许多问题的证明过程变得相当繁琐,而与李群相结合,使得问题的解决变得简单明了.1872年,F.Klein发表了著名的演讲“最新几何研究的比较评论”,他的基本思想是把几何看作某个变换群作用下的不变量.根据F.Klein的思想,有一个变换群就有一个几何与之对应,欧几里得几何就是研究几何图形在欧几里得变换群下不变的性质与量.ElieCartan融合前面的观点,以联络为主要几何观念,创立了外微分法,使几何不变量得以更充分的显示,
6、陈省身等将外微分与活动标架法相结合,将ElieCartan的方法发扬光大,建立了微分几何与拓扑的联系.使得整体微分几何有了突飞猛进的发展.经典微分几何的理论和方法作为一个基础数学工具,在现代科学技术的众多领域有着广泛的应用.60年代初,Ferguson首先在飞机设计上应用了参数三次曲线,引入了参数方法表示的自由曲线曲面,Bezier在1962年设计了以逼近为基础的曲线曲面造型系统UNISURF,其核心思想是用控制网格定义曲线曲面的Bezier方法.随后,Forrest,Gordon和Riesenfeld等对Bezie
7、r方法做了深入研究,揭示了Bezier方法与Bernstein多项式之间的联系,从而使其具有更坚实的理论基础.1983年,Farin更进一步研究了能统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理Bezier曲线.70年代初,Gordon和Riesenfeld等人研究了非均匀B样条,并首次将B样条应用到外型设计.在80年代初期,Lane和Cohen提出了离散B样条和分割技术.1982年,Boehm提出了B样条曲线的节点插入算法;Tiller论述了有理B样条曲线曲面的具体应用.至今,国内外许多学者已对Frenet公式进行了深入研究.F
8、renet公式是微分几何空间曲线论的基本公式,由它可以导出曲线的诸多重要性质与定理,是研究空间曲线论的基础,在经典微分几何中占有十分重要的地位.论文讨论了欧氏空间中的曲线与曲面及Frenet公式在曲线论中的应用,并鉴于经典的Frenet公式基于弧长参数,无法直接应用于非弧长参数的应用工程,以致于一些应用理论不得不舍弃经典Frenet公式而采用形
