数学组初高中衔接校本教材

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1、一、数与式的运算一入必会的乘法公式【公式1](a+b+c)2=a?+b~+c?+2c/b+2Z?c+2cci证明：•.•(Q+/?+C)2=[(d+b)+c]2=(a+b)2+2(d+b)c+c?=+2ab++2qc+2bc+c~=a?++c2+2a/?+2Z?c十2ca:.等式成立【例1】计算：(，一岳+丄尸解：原式=[x2+(―V2x)H—]~3=(%2)2+(―_)2+2%2(―V2)x+2x~x—2x—x(―V2x)4c片322V21=X—2(2xHXXH—339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列.【公式2】(a+b)(a2-a

2、b+b2)=6Z3+戻(立方和公式)证明：(a+/?)(/一“+戾)=a‘-a2b-^-ab2+a2b-ab2+戾=a‘+戾说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+b3【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a3一(立方差公式)1•计算(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)二”(1I"2.1.1、_(23丿469(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=2.利用立方和、立方差公式进行因式分解(1)27m3-n3=(2)27m3

3、-—n3=8(3)x3-125=(4)m6-n6=【公式4】(a+bf=a3+Z?3+3a2b+3ab2【公式5】(a-h)3=a3-3a2h+3ab2-h3【例3】计算：71117119(1)(4+m)(l6-4m+)(2)(—m——/?)(—m~+——n)5225104(3)(q+2)(q-2)(g°+4/+16)(4)(a:2-^-2xy^-y2)(x2-xy-}-y2)2解：(1)原式=4“+/?『=64+加"(1)原式二(丄加F—(丄n)3=—!—m3-—n3521258(2)原式=(/一4)(/+4/+42)=(/)3一护=/-64(3)原式=

4、(兀+刃2(兀2-xy+y2)2=f(x+y)(^2-x^+y2)]2=0?+y3)2=无6+2兀〉3+歹6说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的.【例4】已知兀2_3兀十1=0,求疋+丄的值.解:x"—3%+1=0H0xH——3兀原式=(兀+丄Xx2-1+-^)=(X4-丄)[(兀+丄)2_3]=3(32—3)=18XXXX说明：本题若先从方程x2-3x+1=O中解出兀的值后，再代入代数式求值

5、，则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.【例5】己知d+b+c=0,求a(—+-)4-Z?(-+—)+c(—+—)的值.bccaab解：a+方+c=0,「.a+/?=-c,b+c--a,c+a—-h原式“出+b•叱+c・beaca+babG(_d)1b(-b)1c(_c)beac+—ab*.*a"+—(a+Z?)[(q+by—3q切——c(c-—3ab)——+3abc:.a3+Z23+c3=二3刃比②，把②代入①得原式-3ab

6、c=3abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用.二)、根式式子V^(«>o)叫做二次根式，其性质如下:(1)(yja)2=a(a>0)⑶y[ab=[a-[b(a>0,b>0)(2)=

7、a

8、(4)^=^(a>0,b>0)【例6】化简下列各式：(1)-2)2+_1)2(2)J(1-x)2+J(2_兀)2(X>1)解：(1)原式二"_2

9、+"_1

10、=2_巧+巧_1=1*(2)原式=

11、兀一1

12、+

13、兀一2

14、=“(x-l)+(x-2)=2x-3(x>2)(x-l)-(x-2)=l(l

15、字母的取值分类讨论.【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)原式二V6~4~3(2”)(2+73)(2-73)22-3(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式;=一x長+2s[2x=3a/2%一x4x②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.(2)~次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中冇根式（如32+^3）或被开方数有分母（如J中）.这时可将其化为形式（如化为备取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如32+^3化为3

16、(2")(2+^3)(2-V3)其中2+J5与,转化为“分母中有根