平面向量知识梳理

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1、平面向量概念与坐标表示【知识梳理】1、向量的概念：既有大小又有方向的量向量.画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模.【注】区别向量与有向线段、向量与数量.2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的.规定零向量与任何向量均共线，零向量与任何向量均垂直.3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，通常用等表示，与共线的单位向量是，可以表示为.4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量（相等向量有传递性）.5、平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平

2、行向量，记作：∥.规定零向量和任何向量平行.【注】①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性（因为有)；6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是－.7、向量的表示方法①几何表示法：用带箭头的有向线段表示.如，注意起点在前，终点在后，若，则，即终点坐标减去起点坐标.②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴

3、、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.8、向量∥存在实数，使得存在实数、，使得特别地，若，向量∥9、向量的模的长度叫做向量的模，用表示.特别地，若，则.【注】10、平面向量的线性运算法则若，则①；②；③.11、定比分点点分有向线段所成的定比为，特别地，若，，则.12、三角形的重心坐标公式设为的重心，且、、，则重心的坐标为：【注】为的重心13、三点共线的充要条件不同的三点共线共线.存在实数，使得

4、，且.14、按照向量平移：图象按照向量平移后得到的图象对应的解析式为.15、向量加法运算的平行四边形法则与三角形法则在平行四边形中：①；②；③；④.向量的数量积【知识梳理】1、向量的夹角：同起点，范围；2、数量积若两个非零向量、的夹角为，我们把叫做向量与向量的数量积（又称为内积、点积），记作，即：（定义式）.特别地，若，，则（坐标式）.【注】①依据的定义可以看出，数量积运算的结果是数量，不再是向量.注意区别于向量的线性运算（加法、减法、数乘运算），线性运算的结果依然是向量；②数量积可以简记为，在数值上，，简记为：

5、；③规定零向量与任意向量的数量积为0，即；④向量数量积有两套计算公式（定义式、坐标式），本质上是统一的.在具体应用中，若题目中出现了向量的坐标式，计算数量积一般采用坐标式，若题目中没有出现坐标，一方面可以直接采用定义式计算数量积，也可以建立坐标系，写出相应的向量坐标，最后结合坐标式进行数量积运算；⑤物理学中做功，其中为力向量，为位移向量；⑥若两个非零向量、的夹角为，我们把叫做向量与向量的外积，表示以、临边的平行四边形的面积；⑦涉及到数量积计算，能够建立坐标系，尽量建系，使用坐标法计算数量积.3、夹角公式若两个非零

6、向量、的夹角为，则，特别地，若，，则.4、投影向量在向量上的投影记为：，结合，则，特别地，若，，则向量在向量上的投影为：；同理，向量在向量上的投影记为：.数量积可以视为与向量在向量上的投影的乘积，即.5、关于向量模的几条常见的性质①；②；③，平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和；④；⑤；⑥.【注】平面向量中，涉及到向量模的计算，一般利用，转化为平面向量的数量积，最后的结果注意开方即可.6、三角形面积与平面向量数量积之间的联系向量数量积表示三角形的面积公式，其中7、向量夹角范围的界定①若与的夹角为锐角，则；特别

7、地，若，，与的夹角为锐角，则；②若与的夹角为钝角，则；特别地，若，，与的夹角为钝角，则；③若与的夹角为直角，则；特别地，若，，与的夹角为直角，则.8、平面向量与三角形的面积比一般地，内有一点满足，，，为正数，则在内部，且.9、极化恒等式如图，为中点，则有：所以，称该式子为极化恒等式.反映的是三角形两边所在向量的数量积与中线长及第三边长之间的关系.平面向量的分解定理与向量的综合应用【知识梳理】1、平面向量分解定理若，是同一平面内的两个不平行向量，则对于平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使.【注】称上述向量，为基

8、向量，能作为平面基向量的条件：①非零向量；②不共线向量.2、是的所对的边，若点是内一点，、、的面积分别为，求证：.3、三角形的四心重心：三角形的三边中线的交点；垂心：三角形三条高线的交点；内心：三角形三内角角平分线的交点；外心：三角形三边中垂线的交点；其中，三角形外心、垂心、重心三点共线（欧拉线），且，.4、几个常见的向量（1），此向量为的角平分线的方向向量；（2），此向