中南大学数学院数字图像处理第4章　图像变换

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1、图像变换的目的离散傅里叶变换定义、性质离散余弦变换的定义、性质一、积分变换目：的简化问题的分析求解问题的一般过程:1）将原问题变为较易求解的问题2）在原问题的频域解决问题3）应用反变换，将频域内的解转化为原问题的解连续函数的傅里叶变换波形分析理论分析离散傅里叶变换数学方法与计算机技术联系理论/实用价值第四章　图像变换傅里叶变换有两个好处：1）可以得出信号在各个频率点上的强度。2）可以将卷积运算化为乘积运算。（一）一维傅里叶变换1.一维连续函数的傅里叶变换（FT）定义：若函数f（x）满足狄里赫赖条件：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积则把变换

2、称为：傅里叶正变换：傅里叶反变换：二、傅里叶变换傅里叶变换对：F(u)f（x）2.一维离散傅里叶变换（DFT）傅里叶正变换：傅里叶反变换：定义:若f(x,y)是连续图像函数正变换:反变换:变换对:（二）二维傅里叶变换2.二维离散傅里叶变换（2DDFT）定义:若f(x,y)是离散图像函数正变换:反变换:一般F(u,v)是复函数,即:幅度谱:相位谱:能量谱:3.二维傅里叶变换的幅度谱、相位谱、能量谱f(x,y)xy0XYAXY(0,0)图像屏幕显示函数f(x，y)=A,0≤x≤X,0≤y≤Y0,其他求F(u,v)。4.二维傅里叶变换举例；代入函数；分离变量；查积分表；欧拉

3、公式；两个SIN函数的乘积幅度谱：u=0，v方向v=0，u方向谱图（截面图）幅度谱的屏幕显示：1.可分离性正变换（三）二维连续傅里叶变换的性质同样，反变换也具有可分离性利用二维傅里叶变换的可分离性，可将二维DFT转化成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT，再在y（或x）方向进行一维DFT：第一步：第二步：可分离性举例x方向FFT11001111201-j1+j21-j01+j-1-1-1-1w1y方向FFT1/4用下式求反变换，与正变换使用同一流程：逐列FFT逐行FFT1/4逐像素求共轭2.平移性FT则：相当于F（u，v）的坐标原点移到（u0，v0）

4、点即：移中性同理：移中性的用途：图像作傅立叶变换时，若采用以下公式变换，则变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。问题：采用上述公式变换，变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。为什么？F（u，v）的主要能量分布在频率平面的什么位置？移中的变换：能量集中于中心（示意图）移中FT未移中的变换：FT原图像f（x，y）能量分布于四角（示意图）3.周期性非周期性离散函数的FT是离散的周期性函数uvN-10N-1F（u，v）2N-12N-14.旋转性当变量x，y，u，v都用极坐标表示时，即：则：若：此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图像也旋转同一角度。旋

5、转性举例：原图像及其傅立叶幅度谱图像原图像旋转45，其幅度谱图像也旋转455.二维函数的卷积定理若：*卷积•乘积则：空域频域6.二维函数的相关定理若：则：空域频域*共轭乘积相关（四）离散傅立叶变换的矩阵表示目的:（1）用矩阵乘法的程序进行FT；（2）理论推导用。1.一维DFT的矩阵表示根据定义:令:则:展开:令:正变换:反变换:(忽略1/N)2.二维DFT的矩阵表示根据可分离性：令:忽略1/NFT：IFT：（忽略1/N）（五）二维傅里叶变换的应用1.傅里叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看傅里叶变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在傅

6、里叶变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。2.傅里叶变换在图像压缩中的应用变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。3.傅里叶变换在卷积中的应用:从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等）。如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。傅里叶变换示意图傅里叶变换的频率特性傅里叶变换的低通滤波傅里叶变换的高通滤波傅里叶变换的压缩原理压缩率为：1.7：1压缩率为：2

7、.24：1压缩率为：3.3：1傅里叶变换的压缩原理压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1三、离散余弦变换（DCT）0.问题的提出：傅里叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。反变换：特点：（1）无虚数部分（2）正变换核与反变换核一样正变换：1.一维离散余弦变换2.二维离散余弦变换(1)正变换F(0,0)F(u,0)F(0,v)F(u,v)(2)反变换举例DCT图像经DCT后,能量集中于频率