复变函数与积分变换第6章共形映射

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1、第6章共形映射我们已知道，复变函数w=f(z)在几何上可以看成是z平面上一个点集到w平面上一个点集的映射，自然地，单叶解析函数也是两个平面点集之间的映射，被称之为共形映射.理论上或实际中，往往可通过建立恰当的共性映射，把复杂区域上的问题转化到简单区域上去讨论，这种思想方法在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学和地球物理学等学科中都有着非常重要的应用.6.1共形映射的概念6.1.1导数的几何意义在实分析中，f′(x0)表示曲线C={(x,y):y=f(x),x∈I}上过点处的切线斜率.人们自然会问，在复分析中f′(z)表示什么？

2、设函数w=f(z)在区域D内解析，点∈D且≠0.在D内通过z0任意引一条有向光滑曲线C：函数w=f(z)把z平面上的曲线C变为w平面上过点w0=f(z0)的曲线Γ：因为故曲线Γ在点w0也有切线，切向量为w′(t0)，它与w平面上u（实）轴的夹角为于是如果把z平面与w平面叠放在一起，使点z0与点w0重合，使两实轴同向平行，则C在点z0的切线与Γ在点w0的切线之间的夹角φ－θ就是（图6.1）.换句话说，就是Γ在点w0的切线可由C在点z0的切线转动一个角后得到.显然仅与z0有关，而与过z0的曲线C的形状和方向无关，这种性质称为转动角的不

3、变性.而导数辐角称为映射w=f(z)在z0处的转动角.这也就是导数辐角的几何意义.图6.1下面讨论区域D内过点z0的两条有向光滑曲线C及C′的情形：设C及C′在w平面的像曲线分别为Γ及Γ′，以α及α′分别记C及C′在z0点的切线与x轴正方向的夹角，而用β及β′分别表示Γ及Γ′在w0点的切线与u轴正方向的夹角.于是有故其中α′－α是C和C′在点z0的夹角（经过z0的两条有向曲线C与C′的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角）（反时针方向为正），β′－β是Γ和Γ′在点w0=f(z0)的夹角（反时针方向为正）．式(6.2)表明映射

4、w=f(z)在点z0既保持了夹角的大小，又保持夹角的方向（图6.2）.这种性质称为映射的保角性.图6.2其次，我们讨论导数的模

5、f′(z0)

6、的几何意义.由于

7、Δz

8、和

9、Δw

10、分别是向量Δz和Δw的长度，故这说明像点间的无穷小距离与原像点间的无穷小距离之比的极限是

11、f′(z0)

12、，这可以看成是曲线C经w=f(z)映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向无关，这个性质称为映射w=f(z)在z0点的伸缩率的不变性.当

13、f′(z0)

14、>1时，从z0点出发的任意无穷小距离经w=f(z)映射后都被伸长了；当时

15、，从z0点出发的任意无穷小距离经w=f(z)映射后都被压缩了.综上所述，我们得出定理6.1.定理6.1设函数w=f(z)在区域D内解析，点z0∈D且f′(z0)≠0，则映射w=f(z)在z0点具有以下两个性质：①保角性：过z0的任意两条曲线间的夹角在映射w=f(z)下，既保持大小，又保持方向.②伸缩率不变性．由此可见，若w=f(z)在区域D内解析，z0∈D且f′(z0)≠0，w0=f(z0)，则w=f(z)把某Nδ(z0)内的无穷小曲边三角形映射为某Nε(w0)内的一个无穷小曲边三角形，由于保持了曲线间的夹角大小和方向，故这两

16、个小三角形近似地“相似”.此外，由于近似地有则w=f(z)把某Nδ(z0)内的一个半径充分小的圆周

17、z－z0

18、=δ近似地映射为w平面上某Nε(w0)内的圆周

19、w－w0

20、=

21、f′(z0)

22、δ.例6.1试求映射f(z)=ln(z－1)在点z0=－1+2i处的旋转角，并说明映射将z平面的哪一部分放大了，哪一部分缩小了.解在处有当

23、f′(z)

24、<1时，即在区域(x－1)2+y2>1内时图形缩小，当

25、f′(z)

26、>1时，即在区域内时图形放大.6.1.2共形映射的概念定义6.1设w=f(z)在Nδ(z0)内是一一对应的，且在z0具有保角性和伸

27、缩率不变性，则称映射w=f(z)在z0点是共形的，或称w=f(z)在z0点是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，则称w=f(z)是区域D内的共形映射.于是结合6.1.1节的讨论，可得到定理6.2.定理6.2如果函数w=f(z)在z0点解析，且f′(z0)≠0，则映射w=f(z)在z0点是共形的；如果函数w=f(z)在D内解析且处处有f′(z)≠0，则映射w=f(z)是D内的共形映射.定理6.3如果w=f(z)在D内单叶解析，则w=f(z)是D内的共形映射.证若f(z)在区域D内单叶解析，由定理5.13，对z

28、∈D有f′(z)≠0，则由定理6.2知，w=f(z)在区域D内是共形的.由定理6.1及复合函数的求导公式立即可得：定理6.4（保复合性）两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.定理6.4说明，如果ξ=g(z)把z平面上的区域D共形映射成ξ平面上的区