计算机辅助设计与制造课件CAD4

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1、第4章图形坐标变换与裁剪4.1二维图形的坐标变换在图形显示过程中，用户需对图形进行平移、放大、旋转等基本的几何变换操作。图形的平移、放大、旋转从数学上看都是几何性质的“变换”，故又称为图形的几何变换。1．二维图形坐标变换的基本原理：(1)平移变换：一个点P(x,y)平移到P*(x*,y*)，平移后产生的新坐标如下：x*=x+Dxy*=y+Dy(2)变比例变换：X*=SxXY*=SyY(3)旋转变换：X*=Xcosα-YsinαY*=Xsinα+Ycosα2．坐标变换的矩阵表示形式：一个点的坐标可以用矩阵形式[xy]或表示，坐标变换的矩阵表示形式为：[X*Y*

2、]=[XY]=[aX+cYbX+dY]其中：T=为变换矩阵。注意，不论变换矩阵中的元素a、b、c、d为何值时，都不能使图形产生平移变换，即用2行2列的变换矩阵不能实现图形的平移变换。这就需要使用图形的另一种表示方法—齐次坐标。3．齐次坐标与齐次变换矩阵：为了进行平移变换，要给二维点的位置矢量增加一个附加坐标，使之成为三维行向量[xyl]，即用点的齐次坐标表示，这样便可进行运算了。(1)齐次坐标：齐次坐标是将一个n维空间的点用n+1维坐标来表示。如在直角坐标系中，二维点[xy]的齐次坐标通常用三维坐标[HxHyH]表示，一个三维点[xyz]的齐次坐标通常用四维

3、坐标[HxHyHzH]表示。在齐次坐标系中，最后一维坐标H称为比例因子。三维直角坐标与其齐次坐标的关系是：x=Hx/Hy=Hy/Hz=Hz/H由于H的取值是任意的，所以任一点可用多组齐次坐标表示。在一般使用中，总是将H设为“1”，以保持两种坐标的一致。(2)齐次变换矩阵：对于二维坐标系上的点，齐次坐标为[HxHyH],而齐次坐标变换矩阵的形式是：T=4．二维复合变换：实际上，上述介绍的几种基本变换一般不单独出现，通常出现的都是复合变换。有的图形须经过多次基本变换才能完成，这种由两个以上基本变换构成的变换称为复合变换。设各次变换的变换矩阵分别为T1，T2，…，

4、Tn，则复合变换矩阵是各次变换矩阵的乘积。例：当图形要对画面中的某一点(x0,y0)作放大时，可通过如下三种基本变换复合而成：(1)首先将坐标原点（0，0）平移至（x0，y0）(2)然后图形以（x0，y0）为中心作放大(3)最后将坐标原点自（x0，y0）的位置移回原处（0，0）则以点（x0，y0）为中心，放大系数分别为Sx、Sy的复合变换矩阵为：T=T1·T2·T3=同理，当图形绕坐标原点以外的任意点（x0，y0）作旋转时，也可以通过三种基本变换复合而成，即将旋转中心平移到坐标原点，其变换矩阵为T1；然后使图形绕坐标原点旋转α角，变换矩阵为T2；最后将旋转中

5、心平移回原来的位置，其变换矩阵为T3。则绕坐标原点以外的任意点旋转α角的复合变换矩阵为：T=T1·T2·T3=4.2三维图形的坐标变换三维图形的坐标变换是二维图形坐标变换的简单扩展。三维齐次坐标变换矩阵的形式是：T=4.2.1三维基本变换1．比例变换：2．反射（对称）变换：(1)对xoy平面的反射变换(2)对xoz平面的反射变换(3)对yoz平面的反射变换。齐次变换矩阵为：3．平移变换：4．旋转变换：(1)绕X轴旋转α角(2)绕Y轴旋转α角(3)绕Z轴旋转α角4.2.2三维基本变换矩阵的组合1．绕通过坐标原点的任意轴的旋转变换矩阵2．绕通过任意点P(l，m，

6、n)，方向余弦分别为、、的轴的旋转变换矩阵4.3三维图形变换的应用4.3.1正投影变换正投影变换可得到国家标准规定的六个基本视图—主视图、俯视图、左视图、右视图、仰视图和后视图。1．主视图变换矩阵主视图变换矩阵为：2．俯视图变换矩阵俯视图变换矩阵为：TH=3．左视图变换矩阵左视图变换矩阵为：TW=4.3.2正轴测投影变换正轴测投影图是工程上应用广泛的二维图形。其变换矩阵为：T正轴测=（4-1）在上述所示的正轴测投影变换矩阵中，只要给θ、φ不同的值，就可得到不同的正轴测投影图。1．正等轴测投影变换矩阵按国家标准规定，以θ=45°、φ=35.2644°代入式（4

7、-1），即可得到正等轴测投影变换矩阵。2．正二等轴测投影变换矩阵按国家标准规定，以θ=20.7°、φ=19.47°代入式（4-1），即可得到正二等轴测投影变换矩阵。4.3.3透视投影变换透视图是采用中心投影法得到的图形，即通过投视中心（视点），将空间立体投射到二维平面（投影面）上所产生的图形。1．透视变换矩阵2．一点透视变换4.4开窗与裁剪4.4.1基本概念和术语1．用户坐标系（世界坐标系）2．屏幕坐标（设备坐标）3．窗口4．视区5．裁剪4.4.2窗口—视区变换4.4.3二维图形的裁剪1．点的裁剪在图形剪裁中，最基本的是点的裁剪。对于某一点P(x，y)，只要

8、满足xmin≤x≤xmaxymin≤y≤ymax则该