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1、《冲刺〃985〃优等生拔高讲义》——（教师版本）专治学霸各种不服数列版快问题一：等差数列、等比数列的证明问题3问题二：数列中的最值问题19问题三:由复杂递推关系求解数列的通项公式问题35问题四：如彳可JII页畅求解复杂数列的求和问题50问题五:数列与不等式的相结合问题6686问题六：数列中探索性问题问题一：等差数列、等比数列的证明问题翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是,主要证明方法有：利用等差、等比数列的走义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前n项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.题型一：利用
2、等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子%—=d和务厂色=d有差别，前者必须加上522",否则刃=1时兔无意义；在等比数列中一样有：〃上2时,有匕-==q（常数gHO）;②72gN*时，有如L==q（常数qHO）・%Q”【例1][2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列｛陽｝中，®=1,2匕汁]=（1+-）2an（ne?V+）.n（I）证明数列厝｝成等比数列，并求匕｝的通项公式；（n）令仇=an+｝-^an,求数列｛$｝的前〃项和S“•【分析】（I）根据已知等式结合等比数列的定义证明，从而求得色；（□）先求得$的表达式，
3、再用错位相减法求得S”.【解析】(I)由条件得侖，又”1时”故数叫斜构成首项为「公比为严等比数列.、十g1”rr从而7二戸’即“戶2”(n)由切严(n+1)2n22n+1z2z?+l1「35T222233.11c35“222两式相减得：2S”=攵+2(占+222-所以S〃=5-加+52〃1、2h+1H):_2"z2并+2/2—12m+1++—22"12分【点评】证明数列*成等比数列的关键是对已知条件两边同除以(n+1)2，构造【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列仏｝满足(1)求证:为等比数列，并求出｛色｝的通项公式；(2)若亿
4、=2匕丄，求｛$｝的前n项和S”•【答案】⑴4严刁养；(2)S”=(2m—3)2"+a?+3.C12_c211【解析】解析：⑴・・0=严一匸一=—^=二一1,・・・一一1=2——12-anan)比.V--1二1丄—1=2".・.勺=-^―学科网qan2+1(2)®=(2池一1)2小+2卫一1,Sm=(2”一3)2"+/+3・题型二：运用等差或等比中项性质色+色+2=2陥]o｛%｝是等差数列zanan+2=色Ja工0)o｛色｝是等比数列‘这是证明数列a｝为等差(等比)数列的另一种主要方法.【例2】正数数列匕｝和他｝满足：对任意自然数斤，%,乞，匕沖成等差数列
5、，%+卩仇+
6、成等比数列.证明：数列｛、底｝为等差数列.【证明】依题意，an>0,bn>02乞=an+an+],且色利=yjbnbn^,・••色=叽》⑺22)••••2b”=Jb”_0”+Jb/曲•由此可得2血=斥+斥•即斥-賦=賦_斥(心2)・••・数列｛施｝为等差数列.【点评】本题依据条件得到％与仇的递推关系,通过消元代换构造了关于｛庞｝的等差数列，使问题得以解决•通过挖掘S”的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算.【小试牛刀】设数列｛%｝的前项为S”，已知q=l,勺=6%il，且(5n-8)S/l+l-(5/?+2)
7、S„=An+B,n=1,2,3,，其中AB为常数.(I)求人与B的值；(口)证明数列匕｝为等差数列・【解析】（I）由吗=1,a2=6,a3=11，得S[=l,S2=7,S3=18.把兀=1,2分别代入（5m—8）Sn+I-（5n+2）S„=An+B，得#严二一号2A+B=-48解得，A=-20,B=-8.（II）（I）知，-SJ-8S^-2Ss=-20m-8、即5血小一8S小一2S_=-20m-8,①又5（x1Ml：-8S一-2S.t=-20（刃+1）-8・②②-①得，5（秤+1）5：-5加小-8q*-2%】=-20,即（5«一3）a_—（5n+2）~：=
8、-20・③又（5禅+2）j-（勿+=一2°・④学科网④一③得、（5«+2）@宀一2a*十a—）=0,・•・a“3一加七+a“】=0,・■・£+3二一。小=•••=込一冬=5,Va-^=5,因此，数列｛§｝杲首项为1,公差为5的等差数列.题型三：反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正•面入手，即从已知条件岀发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑•如：【例3】设M｛htl｝是公比不相等的两等比数列，cn=an+hit.证明数列匕」不是等比数列.【证明】设｛。/｛戈｝的公比分别为P，q,pwq,
9、j=QFb沙为证｛$｝不是等比数列只需证c；工g•事头上〉盘=（Q
