4平面向量-冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服

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1、《冲刺"985"优等生拔高讲义》—（教师版本）专治学霸各种不服平面向量版快目录问题一平面向量基本定理的应用问题问题二平面向量中的范围一、最值问题15问题三平面向量解析几何中的应用29问题U!高考题中向量数量积的若干种求法56问题一平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现它很好的体现了数学知识间的联系与迁移，具体到平面向量基本定理，又在向量这部分知识中占有重要地位，是向量坐标法的基础是联系几何和代数的桥梁本文从不同角度介绍定理的应用•一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容:如果q,e2是同一平面内的两

2、个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量乙有且只有一对实数入必使Q二入需+入2云,平面内选定两个不共线向量为基底，可以表示平面内的但可一个向量.【例1】如图，平面内有三个向量04,OB,0C,其中0A与OB的夹角为120°,04与0C的夹角为30。，且OA=2,OB=^,

3、OC

4、=2>/3,若=+则()Q3A.2=4，“=2B・2=—,“=—32434C.2=2,U—~D.2=—“=—323OA【分析】平面向量基本定理实质上是〃力的分解原理"，过点c分别作直线Q4,OB的平行线，分别与直线03,04相交,利用向量加法的平行四边形法则和平面向量

5、共线定理将OC用OA,OB表示.【解析】设与Q1,05同方向的单位向量分别为Q,打依题意有0C=壮+2匚又0A=2a}0B=$b,则0C=2OA^dB,所以兄=2,“=*・故选C.学科网【点评】利用平面向量基本定理表示未知向量时，向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及必要的平面几何知识是必要的.【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在AABC中，若点D满足BD=2DC,则AD=(1—°2—-A•-AC+-AB.332—1—C•-AC——AB33【答案】D)5—-2—B.-AB--AC332■1—D.-AC+-AB33【解析】由~BD=

6、2DC，得丽一乔=2尿一両，因此3~AD=2AC^7b，因此—*2■1—*心严+严，故答案为D.二.利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题e平面向量基本定理是向量坐标的理论基础，通过建立平面直角坐标系，将点用坐标表示,利用坐标相等列方程，寻找变量的等量关系，进而表示目标函数转化为函数的最值问题•【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量04,03满足Oa

7、=

8、ob

9、=1,OA丄OB,OC=AOA+pOB®,;z,e/?）若M为AB的中点并且MC=1,则2+“的最大值是（）A.1—yfirB.1+V2C・y/5D.1+y/3【分

10、析】首先利用已知条件建立适当的直角坐标系，并写出点4B的坐标，然后运用向量的坐标运算计算出点C的坐标，再由MC=1可得入“所满足的等式关系即圆的方程，设/=2+“，将其代入上述圆的方程并消去“得到关于Z的一元二次方程，最后运用判别式大于等于0即可得出所求的答案.【解析】因为向量0凡0圧满足=冲=1』刃_西，所以将占放入平面直角坐标系中,令Xls0）:5（0:l）,又因为M为AB的中点，所以肛6丄）・因为元―刃+“面（入“斥2?）,所以所以（2-+尸+（“一斗尸=1,即点C（Z:〃）在以百二）为圆心,1为半径的圆上.ZZZZ令『=2+从则““-入将其代入

11、圆（Z一斗尸+（“—$2=1的方程消去“得到关于X的一元二次方程:jLZ2，-2必+宦-1*）=0,所以“（202—斗x2（F-一卜"解之得_d+l"s4+l，即久+“的最犬值是1+血・故应选P・学科网【点评】若题中有互相垂直的单位向量大多可建立坐标系，转化为代数问题.【小试牛刀】如图，在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量AC=ZDE+“丽贝肮+“的最小值关【答案4【解析】以X为原点，以川鸟所在直线为乂轴，建立平面直角坐标系.设正方形曲CD的边长为1,则E(1,0),C(1,1),D(0,1),A(0

12、,0).2设P(cos&,sin&)，-.疋=(11)•又向量元=2旋—+/2COS^=1・.；22cos&+sin&—A+//sin^=l由題意得0<^<-,J.0

13、N=yAC,则的值为.【分析】g(x)在区间(-2-1)内存在单调递减区间可转化为g(x)<0