2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第四讲本讲知识归纳与达标验收

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1、【本讲知识归纳与达标验收】命题热点解读.对接高考！对应学生用书P45考情分析通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的止确性.数学归纳法的应用主要出现在数列解答题屮，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察一归纳一猜想一证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的.真题体验1.(安徽髙考)数列｛x“

2、｝满足Xi=O,x“+i=—£+x〃+c(nWN*).(1)证明：｛忑｝是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使｛心｝是递增数列.解：(1)先证充分性，若cVO,由于Xtl+=—x^+xn+c^xtJ+c

3、,可得CV0.(2)(i)假设｛X”｝是递增数列.由兀

4、=0,得兀2=c,x3=~c2+2c.由得OVcVl.由Xn

5、f②由①式和②式可得1一x“>0,即xn<—y[c.由②式和还可得，对任意并$1都有Vc—xn+i^(l—y[c)(y[c—x„).③反复运用③式，得x”W(l—讥)"T(&—Q)V(1xtJ<1—&和&—兀〃<(1~y[c),l[两式相加，知2[c—1<(1—讥)"一

6、对任意〃31成立.根据指数函数尹=(1—&)"的性质,得2y[c—1WO,cW*,故OVcW#.(ii)若0Vcw£要证数列｛忑｝为递增数列，即xt1+1—x„=—x„+c>0.即证xtt

7、，xi=0V近W*,结论成立.(2)假设当〃伙WN*)时结论成立，即：xk<^!.因为函数J(x)=-x2+x+c在区间(—8,*內单调递增，所以心+]=/(.：以)<7(&)=&,这就是说当n=k+1时，结论也成立.故xnxn,即｛x”｝是递增数列.由(i)(ii)知，使得数列｛心｝单调递增的c的范围是(0,

8、.cinXA1.(江苏高考)已知函数^(x)=——(x>0),设兀⑴为九-心)的导数GN・(1)求2閱+步(3的值；(2)证明：对任意的«eN*.等式存+韧0)=平都成立.解：由已知，

9、得肿才金)=(警)'=晋-呼，于是阳=f心)=(晋)'一〔甥'=-誓-警+爭，所以能)=弓,能)=一半+孚故2溜+为(号)=-1.⑵证明：由已知，得双)(x)=sinx,等式两边分别对x求导，得fo(x)+xffo(x)=cosx,即/o(x)+xf(x)=cosx=sin$+亂类似可得2/i(x)+M(x)=—sinx=sin(x+兀),3〃(x)+M(x)=-cosx=sin^x+^^4/3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+27r).下面用数学归纳法证明等式nflt-](x)+xftl(x)=sinLx对所有的“WN*都成立.①当n=

10、时，由上可知等式成立.②假设当n=k时等式成立，即皈一］(x)+M(x)=sii(x+号)因为甌-l(x)+xfkM]f=kfk-心)+fk(x)+xfk(x)=(k+W)+xfk+心),sin=cossin卄呼所以伙+l)/J(x)+*〃+i(x)=sinx+伙；W因此当n=k+1时，等式也成立.综合①②可知等式nfn-1(x)+筋(x)=sin(v+号对所有的都成立.令尸扌，可得皿-1(3+%(另=sin(

11、+所以皿-1(另+筑(3=高频例析AM9令項史破！对应学生用书P45考点一归纳一猜想一证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论

12、是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题.［例1］已知数列｛色｝的第一项如=5且S“-】=a”(〃22,用N+),⑴求切衍，他，并由此猜想划的表达式；(2)用数学归纳法证明⑺”｝的通项公式.［解］(l)Q2=Si=ai=5,G3=S2=ai+d2=10,04=83=01+02+03=5+5+10=20,猜想a”=5X2"-2(心2,〃WN+).(2)①当n=2时，02=5X2X2=5,公式成立.②假设n=k时成立，即以=5X2-2伙N2.kWN+),当n=k+1时，由已知条件和假设有ak^

13、=Sk=a+a1-ak=5+5+10+・・・+5X2*t=5X2^故n=k+1时公式也成立•由①②可知，