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《2017学年高中数学人教A版必修4导学案：2.3.1平面向量基本定理含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2・3.1平面向量基本定理KECHENGMUBIAOYINHANG^1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.L星础知识•血冒JICHUZH!SHISHULI1.平面向量基本定理如果引，02是同一平而内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量4,有且只有一对实数儿，几2,使。=，其中不共线的向量6,£2叫做表示这一平面内所有向量的一组-｛名师点拨］⑴这不克理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯
2、一的，即0=石€
3、+久202,且久1=久2=0・（2）对于固定的C,^2（向量C与02不共线）而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组.B.谕与西D顾与巫【做一做1］在平而四边形MNP0中，下列一定可以作为该平面的一组基底的是（）C.诡与丽2.向21的夹角（1）定义：两个非零向量a和方，且OA=a,OB=b,则ZAOB=0叫做向量a和方的夹角（如图所示），范围是.当〃=0。时，向:Sa和方；当〃=180。时，向量a和b.（2）垂直：如果向量a和方的夹角是,我们就说向量a与方垂直，记作【做一做2】在等边三角形MC
4、中，AB与荒的夹角等于（）A.60°B-90°D.150°答案：1.不共线入引+2202基底【做一做1】A由于血〃应，则不能作为基底，所以选项D不能作为基底；当四边形MNPQ是平行四边形时，MN//QP,MQ//PN,所以选项B和C都不能作为基底；很明答案：1.不共线入引+2202基底【做一做1】A由于血〃应，则不能作为基底，所以选项D不能作为基底；当四边形MNPQ是平行四边形时，MN//QP,MQ//PN,所以选项B和C都不能作为基底；很明显谕与厉不共线，则可以作为基底，故选A.2-(1)0°^^180°同向反向(2)90°a丄方【做一做2】C延长到Q,使AB=BD,如图所示，则乔与荒的夹角
5、等于zCBD.又ZABC=60°9则ZC5Z)=180°-Z^C=180°-60°=120°,所以与BC的夹角等于120°.尖破ZHONGDIANNANDIANTUPO^嘍1.理解平面向显基本定理剖析：(1)引，02是同一平面内的两个不共线向量.(2)对给定的向量a,实数厶，局存在且唯一.实数石，久2的唯一性是相对于基底°,02而言的.(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底，则给定向量按照基底的分解是唯一的.(4)平而向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平而內任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的
6、线性组合.(5)零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量.2.理解向量的夹角剖析：(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直，因此不讨论与零向量有关的夹角问题.(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，ZBAC不是CA与4B的夹衛,ZBAD才是C4与力3的夹角.4(3)特别地，a与方的夹角为8,入］a与入2方(入1,入2是非零常数)的夹角为&o,当入i入2V0时，6()=1800-9:当入1、2>0时,9()=0•DIANXINGLITILINGWU题型一判断向量的基底【例1】设引，02是不共线的
7、两个向量，给出卜列四组向量：①引与©+%；②引一2%与e2—2ei；③创一2血与4e2~2ei；®ei+e2与ei~e2.其中否能作为平面内所有向量的一组基底的是•(写出所有满足条件的序号)反思：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题.若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底.题型二作两向量线性运算的结果【例2】如图所示，已知基向量a,b,求作向量3a—2b.分析：分别作出向量3a和一2»再用平行四边形法则作出它们的和.反思：已知向量Q,b,求作2]4+久2〃仏1，A2^R）的步骤：（1）作㈢=久
8、4,隹=讪；⑵作口O4CB,冼就是求作的向量
9、.题型三用基底表示向量【例3】如图，梯形中，AB//CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和M的中点，若応=a,AD=b,试用a,方表示疋，BC,MN.分析：由-f-DC//AB.减法的运算法则来解决.反思:用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形•借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.易错辨析分不清向量的
