2013届高三4月联考数学(理)试题(word版)

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1、2013年稽阳联谊学校高三联考数学（理科）试题第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知是虚数单位，若，则复数对应的点在复平面的第（）象限.A.一B.二C.三D.四2.已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为，则（）A．B.C.D.3.若集合有且仅有2个子集，则实数的值为（）A．B．或C．或D．或4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为5，则判断框内应填入（）A．B.C．D.5.若为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必

2、要条件D.既不充分也不必要条件6.已知数列满足，且，则（）A．B.C．D.7.三个相同红球和一个白球放入4个不同盒子中（存放数量不限）的不同放法种数是（）A．B.C.D.8.圆的半径为2，是其内接三角形，，则的最大值为（）A．6B.9C．10D.129.已知双曲线，是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B.C.D.10.已知四面体中，为棱的中点，则过点与侧面和底面所在平面都成的平面共有（注：若二面角的大小

3、为，则平面与平面第9页所成的角也为）（）A．个B.个C．个D.无数个第（II）卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.11.若函数,则的值域是.12.实数满足条件，则的最小值为.13.已知的展开式中没有常数项，且，则展开式中含的系数是.14.一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的体积是.15.在这5个数字的所有排列中，记为某一排列中满足条件的个数(如排列记)，则随机变量的数学期望是.16.过点和，并且与轴相切的圆有且只有一个，则.17.定义区间的长度均

4、为已知实数则满足不等式的构成的区间长度之和为.三、解答题：本大题共5小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明给出或演算步骤.18.（本题满分14分）中，角对应的边分别为，若成等差数列，且.(I)求的值；(II)若，求的面积.19.（本题满分14分）已知数列的前项和为，满足，记(I)求证：是等比数列，并求的前项和；(II)求第9页20.（本题满分15分）如图,在矩形中，为边上一点，以直线为折线将点折起至点并保持为锐角，连接取中点，若有平面(I)求线段的长；(II)当时（i）求证：平面平面；（ii）求平

5、面与平面所成角的余弦值.21.（本题满分15分）已知离心率为的椭圆上有一点，直线与此椭圆交于两点（如图），若(I)证明：四边形的对角线不可能垂直；(II)若直线与的倾斜角互补，记短轴端点到的距离为，求的值.第9页22.（本题满分14分）函数的图象记为(I)过一点作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条，（i）求的值；（ii）若点在切线上，对任意的，求证：(II)若对恒成立，求的最大值.第9页2013年稽阳联谊学校高三联考数学（理科）参考答案一、选择题（10×5′=50′）1.A2.A3.D4.C5.D6.

6、B7.C8.D9.D10.B第10题提示：设平面ABC的法向量为，平面BCD的法向量为，因为二面角的平面角的余弦值为，即平面角大约为，所以过点P与法向量都成的向量有4个，所以过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成的平面共有4个.二、填空题（7×4′=28′）11.12.-613.-1014.15.16.或117.三、解答题（72′）18．解：（I）成等差数列，由，而得，所以…………………………………7分（II）由，，，得，又由所以△ABC的面积………………………………14分19.解：（I）∵,∴，

7、第9页两式相减得，…………………………………2分…………………………………5分是等比数列.…………………7分（II）原式=…………………9分…………………11分……………14分20.解:（I）取的中点，连接，，四点共面……………2分平面……………4分为平行四边形……………5分（II）（i）证明：异面直线所成的角为，，取CE中点O，且，同理所以………8分………10分（ii）将该几何体补形成如图所示的长方体，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系，………12分取平面PCE的一个法向量设平面PAD法向量为，第9

8、页，由得，取，得………14分平面PEC与平面MAB1所成角的余弦值为………15分21.（I）解：设，当时，，所以椭圆方程为，联立直线可得由韦达定理可得，所以，，，故所以四边形OABP的对角线不可能垂直………………7分（II）与直线OP的倾斜角互补，则有，即，故因为在椭圆上，代入有：，故短轴端点到的距离即，……………………………15分22.解：（I）（i）设切点为，则切线方程为，将点代入得第9页可化为设，的极值点为作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条，……