第三章组合逻辑电路的分析与设计

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1、第三章组合逻辑电路的分析与设计数字系统屮常用的各种数字部件，就其结构和匸作原理而言可分为两人类，即纟fl合逻辑电路和时序逻辑电路。前i章介绍了构成数字系统的基本单元——逻辑门电路。本章将首先介绍分析和设计数字电路的工具——逻辑代数和卡诺图，然后运用这些基本知识分析和设计组合逻辑电路。3.1逻辑代数逻辑代数也称为布尔代数，其棊本思想是英国数学家布尔于1854年提出的。1938年，香农把逻辑代数用于开关和继电器网络的分析、化简，率先将逻辑代数用于解决实际问题。经过儿十年的发展，逻辑代数己成为分析和设计逻辑电路不可缺少的数字

2、工具。逻辑代数提供了一种方法，即使用二值函数进行逻辑运算，这样，一些用语言描述显得十分复杂的逻辑命题，使用数学语言后，就变成了简单的代数式。逻辑电路中的一个逻辑命题，不仅包括肯定和否定两重含义，而且包括条件与结果许多种可能的组合。比如，一个3输入端的与非门存在着输入与输出状态的八种可能的组合。用语言描述即罗嗦乂不清晰，用真值表则一冃了然，而用代数式就更为简明。逻辑代数有一系列的定律和规则，用它们对数学表达式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析和设计。在逻辑电路中,如果输入变量X

3、,X2,…,XnW{O,l},所以

4、共有211种取值可能,对于其中的若干种取值时，其输出变®FE{O,1}就冇一个对应的确定值，我们把这种对应关系称为逻辑斷数。3.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式基木公式乂称基木定律，是用逻辑表达式来描述逻辑运算的一些基木规律，冇些和普通代数相似，冇些则完全不同，是逻辑运算的重要T•具，也是学习数字电子电路的必要基础。逻辑代数的基本定律和恒等式列于表3-1-1o表3-1-1逻辑代数的基本定律和恒等式（基本公式）表达式名称运算规律A+O=A0・1律变量与常量的关系A・0=0A+l=lA•1=AA+A=A冋律逻辑代数的特殊规

5、律，不同于普通代数A・A=AA+A=1互补律A«A=()A=A非非律A+B=B+A交换律与普通代数规律和同，A•B=B・A(A+B)+C二A+(B+C)结合律(A・B)・C=A・(B•C)A・(B+C)=A・B+A・C分配律A+BC=(A+B)(A+C)A+B=A•B反演律(摩•根定律)逻辑代数的特殊规律，不同于普通代数A•B=A4-B以^3-1-1所示的基本公式为基础，乂可以推出一些常用公式，如表3・1・2所示。这些公式的使用频率非常高，直接运用这些常用公式，可以给逻辑两数化简带來很人方便。表3-1-2逻辑代数的常用

6、公式表达式含义方法说明A+AB=A在一个与或表达式中，若其中一项包含了另一项，则该项是多余的吸收法A+AB=A+B两个乘积项相加吋，若一•项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的消因子法AB+AB=A两个乘积项相加时，若两项中除去一个变虽相反外，•其余变量都相同，则可用相同的变量代替这两项并项法AB+AC+BC=AB+AC若两个乘积项中分别包含了A、入两个因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以去掉。消项法AB+AC=AB+AC在一个与或表达式屮，如其屮一项含有某变量的原变量，另一项含有

7、此变量的反变量，那么将这两项其余部分各白求反，则可得到这两项的反函数。求反函数法3.1.2逻辑代数的基本规则逻辑代数冇三条棊木运算规则，或称基木定理，具体内容如表3・1・3所示。表3・1・3逻辑代数的基本规则规则名称定义用途与例证代入规则任一个逻辑等式中，如将所冇出现在等式两边的某一变量都代之以一个函数F,等式勺了然成立等式变换中导出新公式例如A+B=AB'

8、>B用F=B+C代入，贝U可得至IjA+B+C二ABC。对偶规则对偶定理指出：若一个逻辑等式成立，则它们的对偶式也相等。对偶规则是在保持逻辑优先顺序的前提下，将原

9、式小的符号“+”一“•”、“•”一“+”；常量“()，，一“1”、“］，，一“()”。等式成立，则它们的对偶式也必定成立，可以使所需证明和记忆的等式减少一半。例如A(B+C)二AB+AC,则其对偶式A+BC=(A+B)(A+C)也必定成反演规则求一个函数的反函姿则只要将原式作下列变换：符号“+”一“・”，“•”“+”；原变量〜反变量，反变量f原变量；常数“0”一“0”。可以容易地求出一个两数的非函数。例如L=AB+CD,则L=(A+B)(C+D)o3.1.3逻辑函数的代数变换与化简法【例3.1.1］」式用代数化简法将逻

10、辑函数L=AB+AC+BC化简成最简与-或表达式。解：L=AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC【例3.L2］试用代数化简法将逻辑函数L=AC+BC+BD+A(B+C)+ACD+ABDE化简成最简与-或表达式。解：L=AC+BC+BD+A(B+C)+AC