第7章最优控制

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1、第7章最优控制内容提要最优控制是现代控制理论的重要组成部分。它所研究的对彖是控制系统，中心问题是给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的。这一章介绍了最优控制问题及一些基本的求解方法，如变分法、最大值原理和动态规划等。为最优控制系统的设计,特别是线性二次型性能指标和快速控制提供方法和理论基础。关于求解最优控制的变分方法，介绍了泛函与变分法基础，欧拉方程，横截条件，含有多个未知函数泛函的极值，条件极值等；关于最大值原理，介绍了古典变分法的局限性,最大值原理基本叙述，变分法与极大值原理的异同等；关于动态规划，介绍了多级决策过程与最优性原理，离散系统动态规划，连续系统

2、动态规划，动态规划与最大值原理的关系等；还介绍了线性二次型性能指标的最优控制问题，包括状态调节器、输出调节器、跟踪问题，以及快速控制问题和综合问题。这章研究的内容是最优控制屮最基本的，也是必需掌握的。无论将来从事研究还是从事实际工作都是必不可少的。习题与解答7.1设有一阶系统x=-x+w,40)=3。试确定最优控制函数u⑴,在t=2时，将系统控制到零态，并使泛函丿=[(1+/)&,取极小值。解作泛函Jg=j[1+况〜+2(兀+X—写出泛函人的欧拉方程推出J2w—2=0[A-A=0与状态方程x=-x+u联立求得A=c0u=^e{2兀二加+£-2代入边界条件兀(0)=3,x(2)=0

3、解之得c2+—=3-2c^e1+—e2=022e27.2一质点沿曲线y=/(x)从点(0,8)运动到(4,0),设质点的运动速度为兀，问曲线取什么形状，质点运动吋间最短？解因为所以由欧拉方程dsdrx,ds=Jl+(y')2(irr

4、=q2,42+c22推出q=±5,c2=3所以曲线方程为x2+（y-3）2=25rC兀+0173给定二阶系统“0X0）=2。试求控制函数u(t),将系统在1r2022时，转移到零态，并使泛函J=-u2dt取极小值。2Jo解由题设知x}=x2J%,（0）=2Jx,（2）=0x2=u'[x2（0）=lx2（2）=0引进乘子2((),构造哈密顿函数1.八H=—u+其伴随方程为心占如)解得人⑴=Cj,易（°=一cp+c2其中5C2为任意常数，由必要条件8Hdu代入状态方程，有西=兀2x2=u=c}t一c2解得十八茲尸+C3+4=^t2-c2t+c3利用边界条件可得C3=l1C1x8-1

5、c2x4+1x2+2=01_C

6、x214-c2x2+1=02712解岀代入最优控制表达式，则有最优泛函值为*1「2(9A221<9)J=--t-5dr=—x——-t-5d-r-52Jo<2J92J)<2)2o64125=12727189一苛=7□7.4有一开环系统包含一个放大倍数为4的放大器和一个积分环节，现加入输入叩），把系统从r=0时的观转移到t=T时的可，并使泛函丿=〔（扌+4/皿取极小值,试求况(/))。由题中叙述可知,系统的状态方程和边界条件为x=4弘，％(())=兀()，x(T)=xT作泛函有由欧拉方程进一步得到再联立状态方程解得将其代入得到所以代入边界条件，得联立

7、解得心:[+4u~+2(4u—dFaldAF需。A=—2兀8u4-4/1=0x=4u2=—u=—42=—2x2x—x=022/-9/x=cte+c2exT-xQe~2T进而，最优轨线为最优控制.1u=—x4构造哈密顿函数A=-dH=0dx{希=dH.一亍=一人dx2二q右=—qt+cydHdu=0=%+入□7.5在7.3题中，若令J=-frdr,在t=T时转移到零态，其结果如何？若厂是可2Jo变的，是否有解？解由题设知0(())=2=0[x2(0)=l，[x2(T)=01H——u+入兀2+入u得伴随方程为解得再利用最优性条件求出况即从而将其代入状态方程解得131.Xl=7C«r

8、_TC2Z+C3f+C46212X2=2C，Z_3+。3利用初始条件，得c3=1,c4=2进而有坷(门=扎厂一扎厂+7+2=62x2(T)=^clT2-c2T+l=O所以6(T+4)4(r+3)q_T3，q_严从而最优控制为*6(T+4)#4(7+3)11_对卩是可变的情况，将弘=_&=c^t-c2代入边界条件得H(T)=1.1.[—W+入兀2+入凤]卩=[―希+人兀2-因为^(7)=0所以必有疋(7)=0又由于.6(丁+4儿4(7+3)坷一j.3fT2得到2T+1?当&(T)=