高中数学23圆的方程231圆的标准方程教案新人教B版必修2

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1、2.3.1圆的标准方程示范教案整体设计教学分析本节内容是学习圆的起始课，由于圆是学生比较熟悉的曲线，在初中已学习了圆的几何性质，所以学习本节的难度不大.教材利用两点间距离公式推导出了圆的标准方程，并讨论了点与圆的位置关系.在教学屮，应引导学生自己探究，避免教师直接给出圆的标准方程.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待

2、定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成用代数方法处理儿何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力.重点难点教学重点：圆的标准方程.教学难点：会根据不同的己知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课吋教学过程导入新课设计1.如左下图，已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路屮心线一侧行驶.一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能安全驶入这个隧道？如右上图，以某一截血半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问

3、题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程.为此我们学习圆的标准方程.设计2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题：圆的标准方程.推进新课新知探究提岀问题错误！讨论结果：(1)平血内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心，定长是圆的半径.(2)只要圆心和半径确定了，就可以确定一个圆.(3)如果点M在OC上,则

4、CM

5、=r,反之，如果

6、CM

7、=r,则点M在OC±.如下图所示.由两点间的距离公式，

8、得X,y]~X—a~~7+~~y—b~~=r.两边平方，得(X—a)2+(y—b)2=r2.①显然，OC上任意一点M的坐标(x,y)适合方程①；如果平面上一点M的坐标(x,y)适合方程①，可得

9、CM

10、=r,则点M在©Ct.因此方程①是以点CQ,b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.特别地，如果圆心在坐标原点(如下图)，这时a=0,b=0,圆的标准方程就是2I22x+y=r•⑷容易看出，如果点旳)在圆外，贝U点到圆心的距离大于圆的半径r,即(xi—a)2+(yi—b)2>r2.如果点M2(X2,

11、y2)在圆内,贝ij点到圆心的距离小于圆的半径r,即(x2—a)2+(y2—b)2

12、圆的圆心为(一2,1),所以所求圆的方程为(x+2F+(y—1)2=25.(2)因为直线3x-4y-6=0是所求圆的切线，所以圆心(1,3)到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，有

13、3X1-4X3-6

14、15°厂二^=—：=qV?+75J所以，所求圆的方程为(x—I)2+(y—3)2=9.(3)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x—a)2+(y—b)"=5.已知圆过点(0,1),(2,1),代入圆的方程，得

15、a2+1—b2=5,[2-a2+1-b2=5,a】=l,a2=l,解得L1或L.lb

16、i=—1

17、.b2=3,因此，所求圆的方程为(X—1尸+(y+1)2=5,或(X—1)'+(y—3)2=5.点评：求圆的方程吋，关键是确定圆心坐标和半径.变式训练1.求以C(4,一6)为圆心，半径等于3的圆的方程.解：将圆心C(4,一6)、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为(x-4)2+(y+6)"=9.2.已知两点Mi(4,9)和血(6,3).求以ME2为直径的圆的方程.解：根据已知条件，圆心C(a,b)是MM的中点，4+6Q-I-3那么它的坐标为&=于=5,匕=于=6・根据两点间距离公式，得

18、圆的半径4—549—62=倾.因此，所求圆的方程是(x—5尸+(y—6尸=10.例2求过点A(6,0),B(l,5),且圆心在直线1：2x-7y+8=0上的圆的方程(如下图).分析：由题意得，圆心在线段AB的垂直平分线m上，乂在直线I上，所以圆心是直线m与1的交点.将直线1和ni的方程联立，解方程组，可以求出圆心坐标，再由圆心和圆上一点的坐标可以求出圆的半径.解法一：直线AB的斜率所以AB的垂直平分线m的斜率为1.AB的中点的