傅里叶变换在光波学中的运用

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1、傅里叶变换在光波学中的运用2.3光波学在木节屮，我们得到的空间频率波的传播函数。然后，我们得出重要的菲涅耳衍射定理和傅里叶光学经常用到的夫琅和费衍射公式。我们从波动方程式开始，如(2.2-13)式所示,在直角坐标系表示式为：12222222(2.3-1)22txvz现在我们假设这个波函数W(X,Y,Z,T)包含一个振幅为11/p(X,Y,Z),频率为30的载波的复杂波(wp是一个电气工稈的相量)：(x,y,z,t)p(x,y,z)exp(jOt).(2.3-2)代入式(2.3-2)到式(2.3-2)里。我们得到包含wp的Helmholtz方程，2Px22py22pz22kOp0,kO0.(2.

2、3-3)在这一点上，我们将在下-•节介绍的2-D傅立叶变换，此后将使用傅里叶变换找到一个如(2.3-3)式一样给圧的初始条件的方程式的解。2.3.1傅立叶变换和卷积—个可积的方程f(x,y)的两维(2D)空间的傅里叶变换在［BanerjeeandPoon(1991)］中给出F(kx,ky)--f(x,y)exp(jkxxjkyy)Fxy{f(x,y)}(2.3-4a)傅立叶逆变换为1-If(x,y)F(k,k)exp(-jkx-jky)dkdkF{f(kx,ky)}(2.3-4b)xyxyxyxy2--4如在BanerjeeandPoon(1991)中,对于一个行波,在工程公约中傅里叶变换和逆

3、变换的定义是一致的。在许多光学应用中，函数f(x,y)代表在一个平面z电磁或光场的横向剖面。因此，在方程式(2.3-4a)和(2・3-5b)中,f(x,y)和F(kx,ky)都需含有z这个参数。如式(2.3.5):这个转换的用处就在于，当被代入波方程式屮，这样可以减少一个三维偏微分方程(PDE)中的一维常微分方程(ODE)的谱振幅F(kx,ky;z)。典型的2-D傅立叶变换的性质和例了如下表。表2.2—些二维傅立叶变换的例了和属性。方程式中的(X.y)傅里叶变换中的(kx,ky)1.f(x,y)F(kx,ky)2.f(x~xO,y-yO)F{kx,ky)exp(jkxxO+jkyyO)lkxk

4、y3.f(ax,by);a,b复杂常量F(,)abab4.f*(x,y)F*{-kx,-ky)5.F(x,y)42f(-xk,-yk)6.f(x,y)/x-jkxF(kx,ky)7.delta函数jkxxjkyy(x,y)edkxdky142&142(kx,ky)9.矩阵函数正玄函数),2222rect(x,y)=rect(x)rect(y),kykxkykx,)1这里rect(x)0sin(x)x1/2这里sine(x)x其他10.高斯高斯kxky22exp一4exp-(xy)22卷积函数g(x,y)的两个函数：gl(x,y)和g2{x,y)is被定义为g(x,y)gl(xf,y，)g2(x

5、_x，,y_y，)dx，dy，gl(x,y)g2(x,y).(2.3-5)可以很容易看出,傅里叶变换G(kX,ky)中的g(x,y)与傅里叶变化Gl,2(kX,ky)中的，gl,2(x,y)关系如下：G(kx,ky)G(lkx,ky)G2(kx,ky)(2.3-6)2.3.2空间频率传递函数和传播空间脉冲响应将式(2.3-3)做的2-D傅立叶变换作一些变换后，我们可以得到：d2pdz22kk2yk(l-x-)p0,22k0k020这里是p(x,y,z)的傅里叶变换，现在我们通过解上述方程得到：(pkx.ky;z)222p(kx,ky;z)p0(kx,ky)exp-jk0-k2x/kO-ky/k

6、Oz,(2.3-7)具屮pO(kx,ky)p(kx,ky;z0)fxy{p(x,y,z0)}fxy{pO(x,y)}.我们可以用下列方式解释式(2.3-7):假设一个线性系统pO(kx,ky;z)输入一个频谱(例如在沪0处)则输出频谱P(kx,ky;z)0然后，该系统的空间频率响应由下式给出：p(kx,ky;z)pO(kx,ky)222H(kx,ky;z)exp-jk0-k2/k-k/kx0y0z.(2.3-8)我们可以说H(kx,ky;z)是光穿过距离z的传播空间的频率动态函数。为了找到在z空间域的场分布,我们采取傅立叶逆变换式(2.3-7):p(x,y,z)Fxy-l{f(kx,ky)}1

7、24exp-kxx-jkyydkxdky.(2.3-9)2222p(k,k)exp-jk-k/k-k/kOxOyOzOxy在式(2.3-9)中,我们定义的表达式为：pO(kx,ky)Fxy{pO(x,y)}我们可以得到p(x,y,z)p(x,y,z)pO(x',y')G(x-x',y-y';z)dx'dy'pO(x,y)G(x,y;z)・(2.3-10)其中G(x,y;z)1422222exp-j