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《西南大学2018初等数论第2－4次作业答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、计算题答案1.求45与60的最大公因数。解:因为45=32x5,6O=22x3x5,所以45与60的最大公因数是3x5,即15。2.求不定方程的一切整数解。解：因为(3,8)二1,所以不定方程有整数解。显然兀二3,y二1是其一个特解，所以不定方程的一切整数解为F=3+8t,其中/取一切整数。b=i+3t3.求60与28的最大公因数。解：因为60=22x3x5,28=22x7所有60与28的最大公因数是即4。4.解同余式3x=2(mod5)。解：因为(3,2)=1,所以同余式有解，且有一个解。将0
2、,1,2,3,4直接代入检查知，4满足同余式，所以同余式的解为x=4(mod5)o5.求不定方程7x4-2y=1的一・切整数解。解：因为(7,2)=1,1
3、1,所以不定方程有解。观察知其一个整数解是Po=1。=-3(r=1+2/于是其一切整数解为，/取一切整数。［尸-3-7(6.解同余式3x=1(mod7)o解：因为(3,7)=1,所以同余式有解且有一个解。eX=5+7f由3x-ly-1得Q，y=2+3/所以同余式的解为x三5(mod7)1.解同余式28兀三21(mod35)。解：因为(28,3
4、5)=7,而7
5、21,所以同余式2张三21(mod35)有解，且有7个解。同余式2张三21(mod35)等价于4x三3(mod5),解4兀三3(mod5)得兀三2(mod5),故同余式28%=21(mod35)的7个解为兀三2,7,12,17,22,27,32(mod35)o2.解同余式组：[x=l(mod3)x=2(mod5)解：由兀三l(mod3)得兀=3k+1,将其代入x=2(mod5)得3比+1三2(mod5),解得k=2(mod5),即R=5f+2,所以x=15/+7,所以解为兀三7
6、(modl5)。3.求不定方程3x+2y=2的一切整数解。解：因为(3,2)二1,所以不定方程有整数解。显然兀=0,丁=1是其一个特解,所以不定方程的一切整数解为X=2t，其屮(取一切整数。(7=1-3t4.解同余式4x三l(mod5)。解：因为(4,5)二1,所以同余式有解，口只有1个解。将0,1,2,3,4代入检查知4满足4x4三l(mod5),所以同余式的解为x三4(mod5)o填空题1.9除28的商是。2・11除23的余数是一1。3.6的正因数是一1、2、3、6。4.{4.51=0.55
7、.[8.3]+[-8.3]=17o3.30的最小质因数是。4.在所有质数中，是偶数的是。5.在所有质数中，最小的奇质数是_o6.大于4小于16的素数有5、7、11、13一。7.不定方程ax+by=c有整数解的充分必要条件是(a,b)
8、c。11•模5的最小非负完全剩余系是_0、1、2、3、4。12.模4的绝对最小完全剩余系是・2、・1、0、1或・1、0、1、2。13・5仍的个位数是_o14.7?的个位数是_。15・3"的十进位表示中的个位数字是o16・的个位数是一6。17.7】°被11除的余数是1
9、。18.(1516,600)=419・6的所有正因数的和是_12。20.24与60的最大公因数是一12。21.35的最小质因数是。22.举的个位数是6。23・8的所有正因数的和是_15。24.18的标准分解式为18二2X3八2。25・20的欧拉函数值0(20)=20证明题答案1.设m,〃为整数，证明m+n.m-n与mn中一定有一个是3的倍数。证明：若加或川为3的倍数，则加是3的倍数；若加是3的倍数加1,舁是3的倍数加1,则处/?是3的倍数；若加是3的倍数加1,〃是3的倍数加2,则m+n是3的倍数
10、；若加是3的倍数加2,“是3的倍数加1,则m+n是3的倍数;若加是3的倍数加2,〃是3的倍数加2,则加f是3的倍数，结论成立。2•设〃是整数，证明6
11、n(n+1)(2/?+1)。证明：因为/7(/7+1)(2/7+1)二/7(/7+1)(/7-1)+/7(/7+1)(/7+2),而三个连续整数的积可被6整除，所以6I门(门+1)(277+1)03.设〃是整数,证明：6
12、n3-Ho证明：n3—n=n(n一1)(/?+1)。由于n(n-l)(n+l)是3个连续整数的积，所以3
13、n3-no由于n(n-
14、1)是2个连续整数的积,所以23-n.又(2,3)=1，所以6
15、-77o4.证明：若。三b(modm),则3。三3Z?(modm)。证明：因为3-3=0,而m10,所以3三3(modm)。由°三Z?(modm),3=3(modm)及同余的性质得3a=3Z?(modm)。5.设兀，y均为整数。证明：若5
16、x+9y,则5
17、8x+7y。证明：8兀+7y=8(x+9y)—65y,因为5
18、x+9y,所以5
19、8(兀+9刃，因为5
20、65,所以5165y,从而518(x+9y)一65y,所以5
21、8x+7jo
