弹性系统的二维和三维振动分析

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1、第二篇连续系统的线性振动第9章弹性系统的二维和三维振动分析第9章弹性系统的二维和三维振动分析薄膜变形后，其势能的增加可借薄膜表面积的增大与均匀拉力的乘积来得到：§9-1膜的振动图9.1.1矩形薄膜及其薄膜力一、薄膜的变形势能第9章弹性系统的二维和三维振动分析第9章弹性系统的二维和三维振动分析三、运动微分方程：二、薄膜的动能：薄膜所受的横向荷载：四、自由振动方程：设解：，得特征方程：FT为截面单位长度上的均匀拉力,m为薄膜单位面积上的质量运动微分方程第9章弹性系统的二维和三维振动分析9.1.1矩形

2、薄膜薄膜在矩形边界上的挠度w=0，设解：代入特征方程得固有频率：薄膜振动的一般解：根据薄膜的初始条件或所受的动荷载，并应用振型函数的正交性条件，可以容易地求出系统的自由振动或受迫振动响应。9.1.1矩形薄膜第9章弹性系统的二维和三维振动分析矩形薄膜的模态振型当m=n=1时，得四边固定膜的基频和相应振型函数:高阶频率与振型:矩形薄膜的模态振型第9章弹性系统的二维和三维振动分析对于方膜，有f12=f21，并存在组合模态：图9.1.2矩形薄膜的振型(a)：Y12=0，W=W21；(b)：Y21=0，W

3、=W12；(c)：组合模态，Y12=－Y21；(d)：组合模态，Y12=Y21；方膜的组合模态第9章弹性系统的二维和三维振动分析9.1.2圆形薄膜柱坐标系下的运动方程：设解：其中：代入方程得：9.1.2圆形薄膜第9章弹性系统的二维和三维振动分析薄膜自由振动的解整理得整数贝塞尔(Bessel)方程其中：整数贝塞尔方程的解为:根据第二类贝塞尔函数的性质：为使解在膜的圆心处为有限值：故得圆形薄膜自由振动的解：第9章弹性系统的二维和三维振动分析图9.1.3圆形薄膜的振型圆膜的振型当r=a时，圆膜周边固定

4、，即：频率方程：Jn(x)的零点即为圆膜的固有频率，振型见下图。第9章弹性系统的二维和三维振动分析表9.1.1Jn(x)的零点Sn=0n=1n=2n=3n=4n=512.4053.8325.1366.3807.5868.78025.5207.0168.4179.76111.06412.33938.65410.17311.62013.01714.37315.700411.79213.32314.79616.22417.61618.982514.93116.47017.96019.41020.827

5、22.220618.07119.61621.11722.58324.01825.431721.21222.76024.27025.74927.20028.628824.35325.90327.42128.90930.37131.813表9.1.1Jn(x)的零点其中n表示圆膜的节线数，S表示圆膜的节圆数。第9章弹性系统的二维和三维振动分析§9-2薄板的横向振动§9-2薄板的横向振动忽略剪切变形，采用直法线假设，位移函数可取为：应变分量：图9.2.1矩形薄板及其坐标系第9章弹性系统的二维和三维振动

6、分析薄板内力计算过程1.由弹性力学平面应变问题的物理方程得到相应的应力分量σx、σy和τxy；2.代入三维弹性力学平衡方程可解出两个横向剪应力τxz和τyz;3.应力分量沿厚度方向积分得x和y两个方向横截面上的弯矩、扭矩和剪力；薄板内力计算过程：第9章弹性系统的二维和三维振动分析薄板内力计算公式薄板内力计算公式：图9.2.1薄板截面上的内力其中:第9章弹性系统的二维和三维振动分析第二篇连续系统的线性振动薄板的边界条件，以x=0边为例:简支边：固支边：自由边：弯矩和等效剪力的边界条件写成：第9章弹

7、性系统的二维和三维振动分析运动微分方程薄板横向振动时的动能和弯曲变形的势能:其中ρh为单位面积上的质量。假设板上表面受法向荷载q(x,y,t)的作用，根据哈密顿原理可以得到以下的运动微分方程:第9章弹性系统的二维和三维振动分析9.2.1矩形板的自由振动9.2.1矩形板的自由振动令q(x,y,t)=0，设解w(x,y,t)=W(x,y)cos(ωt)，有或式中，，Δ2为拉普拉斯算子。分离变量法求解，设：第9章弹性系统的二维和三维振动分析分离变量求解如果满足条件：即:则:Y(y)由y方向两条边的边界

8、条件求出。一般情况下，上面的方程不能进行变量分离，只有满足一定的条件才可以。第9章弹性系统的二维和三维振动分析变量分离的条件类似地，另一个平行的能够使变量分离的条件是：下列两种边界，矩形板才能够采用分离变量法求解：(1)X=0,a两端简支时，取：(2)y=0,b两端简支时，取：第9章弹性系统的二维和三维振动分析四边简支矩形板四边简支矩形板，设解：满足下列简支边的所有边界条件：代入自由振动的运动微分方程得：第9章弹性系统的二维和三维振动分析四边简支矩形板动挠度由振型函数的正交性可得：即：相应的振型