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1、Logistic曲线拟合方法研究41文章编号:1002-1566(2002)01-0041-06Logistic曲线拟合方法研究殷祚云(广东省林业科学研究院,广东广州510520)摘要:Logistic模型具有广泛的实用性。本文推导了用三点法估计该模型中参数K值的公式,并提出了估计K值的新方法一四点法和拐点法。用3种方法求出K值后,再用线性化回归获得另外两个参数a、r,应用实例研究表明:3种方法都可得到较高拟合精度,其中以四点法最优。而且,以这些方法得到的参数估计值作为初始值进行非线性回归,易获得
2、3个参数的最优估计。关键词:Logistic曲线;三点法;四点法;拐点法;回归中图分类号:O212文献标识码:A在生物学特别是在生态学中,Logistic分布是个具有较大实用价值的连续型分布,最初起源于生物群体的Logistic增生曲线。由于Logistic累计分布曲线呈S形,因此推而广之,在经济学、政治学、人口统计学、人类肿瘤增生、化学、植物种群动态、昆虫生态、林木生长与直径结[1~13]构或病情指数预测等诸方面都有广泛的应用。1、研究方法Logistic曲线方程的微分形式为:dNN=rN(1-)(1)d
3、tK积分形式为:KN=a-rt(2)1+e式(1)、(2)中,N为生物量(biomass)、生长量(growth)或其它数量指标(如发病数等);t为时间(或温度等)序列;r是常数,称为内禀自然增长率或瞬时增长率(instantaneousgrowthrate);K也是常数,称为环境负载力或容纳量(carryingcapacity);e为自然对数底;a为积分常数。式(2)即为S形Logistic累计分布曲线方程。1.1K值估计方法1.1.1三点法K值一般用三点法估计,公式为22N1N2N3-N2(N1+N
4、3)K=2,2t2=t1+t3(3)N1N3-N2[2,8]其中(t1,N1)、(t2,N2)、(t3,N3)分别表示实测数据序列的始点、中点、终点。此公式推导过程如下:首先将式(2)转换为以下形式:收稿日期:2001-01-0342数理统计与管理21卷1期2002年1月K-Nln=a-rt(4)N选取实测数据序列的始点(t1,N1)、中点(t2,N2)、终点(t3,N3),分别代入上式,得一组方程:K-N1ln=a-rt1(4a)N1K-N2ln=a-rt2(4
5、b)N2K-N3ln=a-rt3(4c)N3且因有2t2=t1+t3,故有2(4b)=(4a)+(4c),消去a,r,即得一元方程:K-N2K-N1K-N32ln=ln+lnN2N1N3当K0时,解上述方程即可求得式(3)。1.1.2四点法在三点法的基础上,提出四点法即用实测序列中的4个数据点来估计K值。与上同理,可推导出用四点法估计K值的公式为:N1N4(N2+N3)-N2N3(N1+N4)K=,t2+t3=t1+t4(5)N1N4-N2N3其中(t1,N1)、(t4,N4)分别为实测数据序列的始点、
6、终点,(t2,N2)、(t3,N3)则为中间两点。1.1.3拐点法dNNK对式(1)即函数=rN(1-)的两边求异,则可得式(2)即函数N=a-rt的二阶导dtK1+e数:2dNdN2N2=r(1-)(6)dtdtK2dNdNK令2=0,当r0时,得:N=dtdt2这便是函数式(1)的驻点或函数式(2)的拐点。也就是说,当N=K/2时,Logistic方程式(2)的S形曲线具有最大的斜率,或者说S形曲线在此处由凹变凸。因此,可以通过找出实测曲线(即用实测数据序列在直角坐标系中所绘的平滑曲线)上斜率最大
7、或由凹变凸的点来确定拐点,由此估计K值的公式为:K=2Nm(7)式(7)中,Nm为实测曲线上斜率最大的点的N值(令此时t=tm)。然而,要找出实测曲线上斜率最大(或由凹变凸)的点(tm,Nm)实际上是较困难的。现在讨论如何通过实测数据来确定Nm。如dN/dt0,且t的增量
8、!t
9、很小,则有dN/dt∀!N/!t这就是说在实测数据序列中,当
10、!t
11、很小时,可由!N/!t来估计实测曲线上各点的斜率。比较各点处(除第一个点外)的!N/!t,则最大!N/!t所对应的N值即为Nm(表1),即有对应关系max{(N2-
12、N1)/(t2-t1),(N3-N2)/(t3-t2),#,(Nn-Nn-1)/(tn-tn-1)}∃(tm,Nm)再根据式(7)估计K值。Logistic曲线拟合方法研究43表1实测曲线上最大斜率点(tm,Nm)的确定方法tN!t!N!N/!tmax(!N/!t)t1N1%%%t2N2t2-t1N2-N1(N2-N1)/(t2-t1)t3N3t3-t2N3-N2(N3-N2)/(t3-t2)tm
