9.4 函数展开为泰勒级数

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1、本节要点第九章第九章无穷级数第九章无穷级数1.泰勒级数的概念;第四节函数展开成泰勒级数2.函数展开成泰勒级数的方法.1泰勒级数的概念现在我们换一个角度来提这个问题:给定函数1-x,将它表示为一个幂级数.根据上述结果有:引例给定以下的幂级数:123n23n=++1xx+x+⋯+x+⋯,xÎ(-1,1)1++xx+x+⋯+x+⋯1-x1我们已求得,当当当x<1时它的和函数为:.1-x这个逆向思维给我们带来了一个这个逆向思维给我们带来了一个“这个逆向思维给我们带来了一个“““新天地新天地新天地”新天地”””:给定一个函数fx(),能否将它表示为一个幂级数?即有23n1将函数表示为幂级数的优越性:1

2、++xx+x+⋯+x+⋯=,xÎ(-1,1)1-x计算幂级数的部分和只需进行加法和乘法两种运算,这是计算机最擅长的.对于复杂函数的函数值的计算,这种表示法十分有利.问题1的讨论:几个问题:设设设f(x)在点x0的某个邻域内可以表示为一个(x-x0)的的的(1)对给定的函数f(x),如果它能够表示为一个幂级幂级数,即有:2n数数数,这个幂级数的应具有什么样的形式?f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)+⋯+an(x-x0)+⋯,(1)那么根据幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质,可得:(2)在什么条件下函数可以表示为一个幂级数?¢=+-+-2+-3+fx()a2(axx)3(axx)

3、4(axx)⋯,1203040(3)怎样求出给定函数的幂级数表示式?f¢¢()x=2a+×23(axx-)34(+×ax-x)2+⋯,23040下面我们就来讨论这些问题.f¢¢¢()x=×23a3+××234(axx4-0)+⋯,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()nf()x=××23⋯×na+××23⋯×(n+1)a(xx-)+⋯,nn+101介绍两个常用的名称:在以上各式中取x=x0,得得得①①①称①称称称(2)式中的幂级数为f(x)在在在x=x0处的泰勒级数f¢(x)f¢(x)(TaylorSeries).以上推导说明:若一个函数可表示为a=f(x),a=f¢(x),a=0,a=0,⋯,00102

4、!23!3幂级数,则此幂级数必为该函数的泰勒级数.f(n)(x)②②②若②若若若f(x)可以表示为它的泰勒级数(即即即f(x)是它的泰a=0,⋯nn!勒级数的和函数):=+¢-+fx¢¢()0-2+f¢¢¢()x0-3+fx()fx()fx()(xx)(xx)(xx)⋯00000也就是说:如果f(x)能表示为(x-x0)的幂级数,则此2!3!()n幂级数的形式是唯一确定的,它必为:+f()x0(xx-)n+⋯,0n!f¢¢()x02f¢¢¢()x03fx()+fx¢()(x-x)+(x-x)+(x-x)+⋯¥(n)0002!03!0f()x0n即fx()=∑(xx-0),(3)f()n()x

5、¥f()n()xn=0n!0n0n+(x-x0)+⋯(=∑(x-x0)),(2)则称f(x)在在在x=x0处可展开为泰勒级数.而而而(3)式就称为n!n=0n!f(x)的泰勒展开式(TaylorExpansion).注意分清fx()的泰勒级数与fx()的泰勒展开式的区别.在在在(3)式中,若令x0=0,则所得的展开式定理(初等函数展开定理)¥(n)f¢¢(0)f()n(0)¥f()n(0)f(x)f(x0)(x-x)nfx()=f(0)+f¢(0)x+x2+⋯+xn+⋯=xn设设设为初等函数,它的泰勒级数∑0的收敛∑n=0n!2!n!n=0n!半径为R,则在区间x-x0

6、成立:称为f(x)的的的麦克劳林展开式(MaclaurinExpansion)¥()nf()x0nfx()=∑(xx-0),xx-0

7、⑴求出⑴求出fx()在在在x=0处的各阶导数值f(0)；；；()n有两种不同的方法:直接展开法和间接展开法.¥f(0)n⑵⑵⑵作出麦克劳林级数⑵作出麦克劳林级数∑x；；；下面分别举例说明.n=0n!注注注:“将函数展开成它的泰勒(Taylor)级数级数”级数”””也常说也常说⑶⑶⑶求出级数的收敛半径⑶求出级数的收敛半径R，，，确定收敛区间，确定收敛区间(-RR,)；；；成是成是“成是“““将函数展开成将函数展