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1、第一章基本概念1.1集合Z表示全体整数的集合Q表示全体有理数的集合R表示全体实数的集合C表示全体复数的集合o德•摩根(DeMorgan)律对于任意集合ABC来说笫一：集合C减去集合A与集合B的交集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的并集用数学符号表示为C-(AAB)=(C-A)U(C-B)第二：集合C减去集合A与集合B的并集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的交集用数学符号表示为C-(AUB)=(C-A)A(C-B)元素属于集合用符号，集合属于集合用匸符号1.2映射映射：设AB是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集
2、合A中每一个元素x,有集合B中唯一确定的元素y与之对应。(映射可以多对一，但是不允许一对多)满射：设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B,那么就称f是A到B的一个满射。单射：设f：A到B是一个映射，如果对于A中任意两个元素xl,x2只要有xlHx2,就有f(xl)Hf(x2),那么就称f是A到B的一个单射。映射之间是可以合成的，具体不做解释。双射：如果一个映射既是满射，又是单射，那么我们将这个映射称为双射。本单元的题型大多为证明双射，所以这里要注意。证明双射的步骤：第一步首先证明满射，将x用y来表示，然后将用y表示的x代入原方程屮。如果得到的结果等于y,
3、那么即可证明该映射为满射。第二步证明单射，将xl和x2代入方程中，并将含xl和x2的两个方程联立，如果解得xl等于x2,那么即可证明该映射为单射。第三步，既是满射又是单射的映射即为双射，命题得证。1.3数学归纳法数学归纳法的原理是最小数原理最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数aes,对于任意ces都有aWc。需要注意的是最小数原理并不是对于所有集合成立的。例如全体整数集Z就没有最小数。分数组成的集合也没有最小数。然后就是本节的重点数学归纳法。数学归纳法：设有一个与正整数n有关的命题，如果(1)当n二1时，命题成立；
4、(2)假设冲k时命题成立，则冲k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立。还有一个所谓的第二数学归纳法原理：设存在一个与n有关的命题。如果(1)当n二1时命题成立；(2)假设命题对于一切小于k的正整数来说成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切正整数来说都成立。1.4整数的一些整除性质整除的概念：设ab为两个整数，如果存在一个整数d,使得b=ad,那么就说a整除b,(较小的那个数在前而，比如说3整除6)用数学符号表示为alb,如果a不整除b,则加一斜杠即可。整数的基本性质A整除B,B整除C,那么A整除C。A整除B,A整除C,那么A整除(B+C
5、)A整除B,若CWZ,那么A整除BC每一个整数都可以被1和・1整除每一个整数都可以被他自己和他的相反数整除带余除法：设a,b是整数且aHO,那么存在一对整数q和r,使得b=aq+r,OWrVlal满足以上条件的整数q和r是唯一确定的。一个素数如果整除两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b屮的一个。带余除法的余数一定是正整数1.5数环与数域数环:设S是复数集C上的一个非空子集，如果对于S屮任意两个数a,b来说，存在a+b,a-b,ab都在S内，那么我们称S是一个数环。数域：设S是一个数环，如果(1)F中有一个不等于零的数；(2)如果a,beF,且bHO,
6、则-eFb那么就称F是一个数域(数域是建立在数环的基础上的，所以要先证数环再证数域)任何数域都包含有理数域Q这一节比较简单，套概念即可第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算(1)数环R上一个文字x的多项式或者一元多项式是指:a0+alx+a2x2+•••+anxnAnxn叫做多项式的最高次项，而n就是该多项式的次数。(2)多项式的运算规则加法交换律：F(x)+G(x)=G(x)+F(x)加法结合律：(F(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))乘法交换律：F(x)g(x)=g(x)f(x)乘法结合律：(F(x)g(x))h(x)=f(
7、x)(g(x)h(x))乘法对加法的分配律同理也符合多项式的基本性质笫一点：两不等于零的多项式之和的次数小于等于这两个多项式中次数比较高的那个次数。第二点：两不等于零的多项式之积的次数等于两多项式的次数之和。2.2多项式的整除性多项式的整除性质：多项式环F(x)上的两个多项式f(x)和g(x),如果存在F(x)上的多项式刁(X),使得g(x)=f(x)z(x),则称f(x)lg(x)多项式整除的性质和整数整除性质类似整除的方法是要重点复习的方法(带余除法)首先把两个多项式中次数较低的那一个同时乘以相差的那个次数，然后用次数较高的减去次数较低的，得到一个新的
8、多项式。然后依然是把那个次数最低的多项式乘以与新多项式相差的次数，
