S11-11命题及其关系(三)充要条件

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1、扬州中学西区校07-08学年度第一学期高二数学教案（11）主备人胡广宏授课人授课日期课题S11-1.1命题及其关系（三）充要条件课型新授教学目标：理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法，把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.教学重点：命题条件的充要性的正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序教学手段：多媒体教学过程备课札记一、创设情境由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件（充要条件）；既不充分也不必要条件。问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竞成（

2、4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分．二、活动尝试在数学中有很多可逆的命题，如（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+c>b+c;（3）若一元

3、二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0．这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、师生探究问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x>2，q：x>1；（2）p：x>1,q：x>2；（3）p：x>0,y>0，q：x+y<0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.解：（1）∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.（2）∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.（3）∵x>0,y>0x+y<0，x+y<0x>

4、0,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.知识改变命运学习成就未来（4）∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.四、数学理论1．相关的概念如果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条。说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.

5、⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.、⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方面，缺一不可。五、巩固运用例1：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？把命题

6、的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可．例2：设A=｛x｜-2≤x≤a｝，B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝，M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.求使MB的充要条件是什么?解：∵A=｛x｜-2≤x≤a｝,M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.∴B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝=｛y｜-1≤y≤2a+3｝.当-2≤a＜0时，M=｛Z｜a2≤Z≤4｝.当0≤a≤2时，M=｛Z｜0≤Z≤4｝.当a＞2时，M=｛Z｜0≤Z≤a2｝.∴当-2≤a＜2时，MB4≤2a+3，即≤a≤2；当a＞2时，MBa2≤2a+3，即2＜a≤3.综上可知，所求的充要条件为≤a≤3.*例3:求证实系数一元

7、二次方程知识改变命运学习成就未来有两个异号根的充要条件是解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）先证充分性∵∴方程的∴方程有两个不相等的实根，设其为。∵∴方程有两个异号实根（2）再证必要性∵方程有两个异号实根，设其为∴∵∴由（1）（2）原命题得证。评析注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问