有电介质的高斯定理

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1、有介质时，自由电荷和束缚电荷共同产生电场满足高斯定理：可以证明：定义：称电位移矢量则：一.的高斯定理§7-9有电介质时的高斯定理电位移的高斯定理：通过任意闭合曲面的电位移通量等于面内包围的自由电荷代数和1、电位移线：规定：1）线上各点切线方向与D方向相同2）通过任意单位垂直面元的电位移线条数等于该点电位移矢量的大小特点：起自正自由电荷（或无穷远），终止于负自由电荷（或无穷远），在无自由电荷处不会中断（无自由电荷处电位移矢量连续）讨论++++++++++++++++++++线线从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一闭合曲面的

2、电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。++++++++++线电位移线起于正的自由电荷，止于负的自由电荷。电场线起于正电荷、止于负电荷，包括自由电荷和极化电荷。电极化强度矢量线起于负的极化电荷，止于正的极化电荷。只在电介质内部出现。二.与的关系在各向同性、均匀的电介质中即：与成正比且方向相同令：称为介质的介电常数真空中：介质中真实的场：自由电荷产生的场：束缚电荷产生的场：3.介质中高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电

3、场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。求:板内的场解:均匀极化表面出现束缚电荷例1平行板电容器上自由电荷面密度为充满相对介电常数为的均匀各向同性电介质故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布则：电场方向沿x方向上底下底由高斯定理：内底内底底S例2一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d内部均匀分布体电荷密度为求：介质板内、外的解：面对称平板相对介电常数为r，取坐标系如图以x=0处的面为对称面过场点作正柱形高斯面S底面积设S00的自由电荷均匀场例3：将电荷q放置于半径为R相对

4、电容率为r的介质球中心，求：I区、II区的D、E、及U。解：在介质球内、外各作半径为r的高斯球面。高斯面球面上各点D大小相等，I区：II区：由由高斯面例.平行板电容器的电容已知:平行板电容器设电容器带电量Q求:其电容.d,S,r解:Q-Q求两极板间的电势差UD两极板间的电势差根据电容定义式计算电容εLAB设两极板面电荷线密度分别为+，-解:做如图高斯面lr两极板间的电势差例.圆柱形电容器的电容已知:圆柱形电容器R1，R2，求:其电容.根据电容定义式计算电容单位长度的电容dd12ε0rBCA+++++σ+σ例：一平

5、行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为rD1D2,,1.用高斯定理求：EE12,；3.求此电容器之电容。SS例.一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，其中置一厚度为t的平板均匀电介质，其相对介电常数为r,求该电容器的电容C。b解：根据定义设极板面密度为、-由高斯定理可得：空气隙中介质中与t的位置无关t、Ct=b例.一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2的均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。求(1)该电容器的电容C(2)两极

6、板间的电势差U。b解：（1）等效两电容的并联左半部：右半部：电容并联相加：（2）问：Q左=Q右？左右例.平板电容器极板面积为S间距为d,接在电池上维持V。均匀介质r厚度d，插入电容器一半忽略边缘效应求(1)1、2两区域的和；(2)介质内的极化强度，表面的极化电荷密度；(3)1、2两区域极板上自由电荷面密度，。12S解：（1）(2)介质内的极化强度，表面的极化电荷密度'(3)1、2两区域极板上自由电荷面密度1、212S例题7-28一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的

7、场强及极化电荷分布。金属球是等势体，介质以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理求解。RQ0rPS解:高斯面：过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知：所以写成矢量式为,所以离球心r处P点的场强为因结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍,可求出电极化强度为电极化强度与有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为因为εr>1，上式说明σ’恒与

8、q0反号，在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。解：（1）设场强分别为E1和E2，电位移分别为D1和D2，E1和E2与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作