《几何与代数》几何空间

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1、教学内容和学时分配第三章几何空间教学内容学时数§3.1平面向量及其运算的推广1§3.2空间坐标系1§3.3空间向量的向量积和混合积2§3.4平面和直线2§3.5空间直角坐标变换1§3.6用Matlab解题1引言几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和费马建立的平面解析几何.解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.解析几何为微积分的出现创造了条件.几何向量是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机图形学、三维游戏设计等学科的工具.1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何.一

2、.空间向量的线性运算二.共线、共面向量的判定§3.1-2空间向量及空间坐标系第三章几何空间三.空间坐标系四.空间向量线性运算的坐标表示五.空间向量的数量积1.向量的概念及其表示1).向量：2).向量的长度或模：3).自由向量：4).相等向量：5).负向量：6).零向量：既有大小又有方向的量只考虑向量的大小和方向不计较起点位置长度相等且方向相同长度相等且方向相反或长度为零，方向任意方向相同或相反8).平行(共线)向量：7).单位向量：长度为1一.空间向量的线性运算第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系2.向量的加

3、法1).平行四边形法则2).三角形法则3).运算性质:③②结合律①交换律④首尾相接多边形法则OAB向量的减法运算性质:三角不等式（减数指向被减数）（后项减去前项）注:当平行时，等式成立。ADB第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系3.向量与数量的乘法（数乘）1).定义：m注:①m=m=0或=.2).运算性质②(1)=.③单位向量：长度为1的向量模：方向：非零向量的单位化：③分配律②结合律①向量的伸缩//第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系例1.设P,Q分别是ABC的BC,A

4、C边的中点,AP与BQ交于点M.证明:ABCMAM=AP.23PQABCST往证点S与点T重合,即PQ证明：可知第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系1.向量的概念及其表示：方向和大小2.向量的加法向量的减法平行四边形、三角形、多边形法则3.数乘向量的伸缩向量的单位化：一.空间向量的线性运算§3.1-2空间向量及空间坐标系二.共线、共面向量的判定三.空间坐标系四.空间向量线性运算的坐标表示五.空间向量的数量积第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系二.共线、共面向量的判定1.共线、共面向量的定义二.共线、

5、共面向量的判定2.共线的判定定理3.1设向量1,向量2与1共线存在唯一的实数k使得2=k1.推论3.1向量1,2共线存在不全为零的实数k1,k2使得k11+k22=.注：向量1,2不共线k11+k22=只有零解，即k1=k2=0.注：设向量1,向量2与1共线2可由1唯一的线性表示.第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系二.共线、共面向量的判定推论3.2向量1,2,3共面存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=.注：若

6、向量1,2不平行,则向量3与1,2共面3可由1,2唯一的线性表示.1323.共面的判定定理3.2若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k,l),使得第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系3=k1+l2.定理3.2若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k,l),使得3=k1+l2.推论3.2向量1,2,3共面存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=.注：向量1,2

7、,3不共面k11+k22+k33=只有零解，即k1=k2=k3=03可由1,2唯一的线性表示.推论3.2向量1,2,3共面1,2,3线性相关.1,2,3线性无关3.共面的判定第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系例2.§3.1-2空间向量及空间坐标系二.共线、共面向量的判定2与1()共线∃唯一实数k使得2=k12可由1唯一线性表示2与1共线∃不全为零的k1,k2使得k11+k22=2与1线性相关3与1,2共面3可由1,

8、2唯一线性表示3与1,2线性相关重点和难点在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示.1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.(2)在平面