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时间:2019-09-03
《向量空间、本征值和相似变换》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§4.5向量空间向量空间的定义设V为n维向量的集合如果集合V非空且集合V对于加法及乘数两种运算封闭那么就称集合V为向量空间所谓封闭是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算具体地说就是若aVbV则abV若aVR则aV上页下页铃结束返回首页向量空间基、维数设V为向量空间如果r个向量a1a2arV且满足(1)a1a2ar线性无关(2)V中任一向量都可由a1a2ar线性表示那么向量组a1a2ar就称为向量空间V的一个基r称为向量空间V
2、的维数并称V为r维向量空间如果向量空间V没有基那么V的维数为00维向量空间只含一个向量0若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是向量组的最大无关组向量空间V的维数就是向量组的秩下页向量的维数和向量空间的维数向量的坐标如果在向量空间V中取定一个基a1a2ar那么V中任一向量x可唯一地表示为x1a12a2rar数组12r称为向量x在基a1a2ar中的坐标在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1e2en为基则以向量x(x1x2
3、xn)T可表示为xx1e1x2e2xnen可见向量在基e1e2en中的坐标就是该向量的分量向量组e1e2en叫做Rn中的自然基下页从旧基到新基的过渡矩阵,以及坐标变换§5.1向量的内积、长度及正交性上页下页铃结束返回首页向量的内积设有n维向量x(x1x2xn)Ty(y1y2yn)T令[xy]x1y1x2y2xnyn[xy]称为向量x与y的内积性质:(1)[xy][yx](2)[xy][xy](3)[xyz][
4、xz][yz](4)当x0时[xx]0当x0时[xx]0(5)[xy]2[xx][yy]——施瓦茨不等式向量的长度令
5、
6、x
7、
8、称为n维向量x的长度(或范数)向量的长度的性质设xy为n维向量为实数则(1)非负性当x0时
9、
10、x
11、
12、0当x0时
13、
14、x
15、
16、0(2)齐次性
17、
18、x
19、
20、
21、
22、
23、
24、x
25、
26、(3)三角不等式
27、
28、xy
29、
30、
31、
32、x
33、
34、
35、
36、y
37、
38、>>>下页向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角当x0y0时当[xy]0时称向量x与y正交显然若x
39、0则x与任何向量都正交定理1若n维向量a1a2ar是一组两两正交的非零向量则a1a2ar线性无关>>>下页规范正交基设n维向量e1e2er是向量空间V(VRn)的一个基如果e1e2er两两正交且都是单位向量则称e1e2er是V的一个规范正交基向量在规范正交基中的坐标若e1e2er是V的一个规范正交基那么V中任一向量a应能由e1e2er线性表示并且a[ae1]e1[ae2]e2[aer]er事实上设a
40、1e12e2rer则eiTaieiTeii即ieiTa[aei]下页施密特正交化方法设a1a2ar是向量空间V中的一个基取向量组容易验证b1b2br两两正交且b1b2br与a1a2ar等价把b1b2br单位化即得V的一个规范正交基下页正交阵如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)那么称A为正交矩阵简称正交阵方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向
41、量空间Rn的一个规范正交基下页正交矩阵的性质(1)若A为正交阵则A1AT也是正交阵且
42、A
43、1(2)若A和B都是正交阵则AB也正交阵正交变换若P为正交矩阵则线性变换yPx称为正交变换设yPx为正交变换则有这说明经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变)这是正交变换的优良特性结束§5.2方阵的特征值与特征向量上页下页铃结束返回首页理论力学中,振动问题和稳定性问题常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题在量子力学中,特征值和特征向量有着特殊的含义。数学中诸如方阵的对角化及解微分方
44、程组的问题也都要用到特征值的理论特征值与特征向量设A是n阶矩阵如果数和n维非零向量x使关系式Axx成立那么这样的数称为方阵A的特征值非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项
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