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1、7.1试根据公式P=-D賓证明，对于非相对论粒子①，仇，2=0,±1,±2,…有2U上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解：处在边长为厶的立方休中，非相对论粒子的能量本征值为(Z，竹，Z=0,±1,±2,…)，(1)为书写简便起见，我们将上式简记为(2)2£,=aV~^,其中心是系统的体积，常量“凹［(於+於+已，并以单一指标/2/w、J代表",Z三个量子数.由式(2)可得殂=_亠厂汇勺.(3)dV33V代入压强公式，有p—工q西=2工幺声2匕，(4)TdV3KY3V式中［/=》＞简是系统的内能./上述证明示涉及分布｛砧的
2、具体表达式，因此式(4)对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积V的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系.式(4)也可以用其他方法证明.例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色(费米)系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式(4)•见式(7.2.5)和式(7.5.5)及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式(8)和§6.5式(8)・将位力定理用于理想气体也可直接证明式(4),见第九章补充题2式(6)・需要强调，式(4)只适用于粒子仅有
3、平衡运动的情形.如果粒子还有其他的自由度，式(4)中的U仅指平动内能.7.2试根据公式防-工⑦学证明，对于相对论粒子2龙力~~L(代，竹•，牛=0,±1,±2,…),有1UP—■3V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解：处在边长为L的立方休中，极端相对论粒子的能量本征值为张虫=c竽(龙+尤+於)[(z，Sz=0,±l,±2,...)‘⑴用指标/表示量子数5®,计表示系统的体积，心,可将上式简记为£严叔飞,(2)其中丄a=2兀方c(n；+川；+加)2.由此可得^L=-Lay-^.(3)dV33V代入压强公式，得(4)本题与
4、7.1题结果的差异来自能量本征值与体积7函数关系的不同.式(4)对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.7.11表面活性物质的分子在液面上作二维自市运动，可以看作二维气体.试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率",最概然速率5和方均根速率“解：参照式(7.3.7)—(739),可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布.速度分布为IjikT(1)速率分布为171mIjtkTvdi).(2)平均速率为(3)速率平方的平均值为因此方均根速率为故概然速率入条件确定.由此可得kT2kT(4)5(5)值得
5、注意，上述7,“-三种速率均小于三维气体和应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在〃到卄血中的分子数分别与速度空间的体积元2池血和4加込成正比，因而二维气体屮大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.16已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为£=召（卩；+/+#；）+尼+加，2加'7其中是常量，求粒子的平均能量.解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需耍注意所难能量表达式£屮处2和加两面三刀项祁是兀的函数，不能直接将能量均分立理用于项而得出~^=-kT的结论.要通过配方将£表达为2(1)b2在式（1）中，仅第四项是兀的函数，又是
6、平方项.市能量均分定理知r.bya"i—IQ丿(2)7.18试求双原子分子理想气休的振动嫡・乃=0丄2,…解：将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动.以⑵表示振动的圆频率，振动能级为(1)振动配分函数为—ph(olnZ；=—丄0力0—ln(l—幺"也双原子理想气体的爛为(3)其中仇二挈是振动的特征温度.k7.20试求爱因斯坦固体的爛.解：根据式(7.7.2)求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的爛为/月、S=3NklnZ^/?—InZ,I训丿e如/8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解：如
7、§&3所述，令玻色气体降温到某有限温度7；,气体的化学势将趋于-0・在"7；时将有宏观量级的粒子凝聚在w=0的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚•临界温度7；由条件「代)J(1))e^-1确定.将二维自由粒子的状态密度(习题6.3式(4))mAs=n.代入式(1),得(2)二维理想玻色气休的凝聚温度7；由式(2)确定.令x弋,上式可改写为在计算式(3)的积分时可将被积函数展开，有£8dxev-l(4)式(4)的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚
8、.8.7计算温度为丁时，在体积7内光子气体的平均总光子数,并据此估算(a)温度为1000K的平衡辐射.(b)温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解：式(8.4.5)和(&4.6)已给出在体
