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《没有最全,只有更全,数列知识大总结,充足例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列知识总结等差数列1.递推关系与通项公式递推关系：an+x-an=d通项公式：atl=a}4-(n-1)J推广：an-am+(n-m)d(例1)变式：a{=an-(n-l)J;n一1n一m特征:an=d〃+(d]-d),即：an=f(n)=kn+m,(k,肌为常数)afl=kn+m,(k,m为常数)是数列仏}成等差数列的充要条件。2.等差中项：若a,b,c成等差数列，则b称d与c的等差中项，=a,b,c成等差数列是2b=。+c的充要条件。例：1.等差数列｛勺｝中,a4+a6+as+al0+al2=120,则d］］的值为(C)A.14B
2、.15C.16D.17解*坷］_+(色+2d);(a”=am+(n-/n)J)22239383例：等差数列｛an｝'\at>0,S9=Sl2,则前10或11项的和最大。解：TS9=SqS]2—S9=0/•绚（）+a】]+de=••3再1=0（此处利用等差中项的性质得出au=0,从而二d]]=0卫]〉0得出结论）・・・&”｝为递减等弟数列・・・5,0"5,1为最大。1.前料项和公式-呼.—r特征：S”=—H2+(^]~—)n,厶厶即s”=f(n)=An2-^-BnSft=An2+Bn(A,B为常数)是数列｛"“｝成等差数列的充要条件。（
3、可以发现Sn是关于n的二次函数，且常数项为冬）4•等差数列仏」的基本性质（其中m,n,p,qwNj⑴若心十q，则入+%=竹+伽反之,不成立。（例2、例3）（2）為_入=（〃_〃）〃⑶2色=^n-m+。〃+加VV-VV-V（例1）⑷5*2“52»2n仍成等差数列o例:己知:等差数列｛an｝中,an=33—3n,求Sn的最大值.解：Van=33-3n:.al=30（H]+an）•n（63-3n）n32632321°="2（n"Tr+8Sn===一三"+—nnc2223X212VneN,•••当n=10或n=ll时，Sn取址大值165.例：1
4、.己知等差数列的询10项和为100,前100项和为10,则
5、询110项和为一110解：・・S]0，S'20—5I0，S30—S2Qf''•，S]]0_S]00，・••成等差数列，公差为D其■肖项为5,0=100,前10项的和为几0=1010x9.-.100x10+xD=10,:.D=-222110S100=Si。+10£）•••SII0=100+10+10・（—22）=-110例2.巧用等差数列性质求和(填空题常用)设等差数列f的前n项和为S“，已知a3=12,S]2>0,S]3<0①求出公差〃的范围，②指出S1，*2,…，S]2中哪一
6、个值最大，并说明理山。解：①几二6(®+%)=6(03+010)=6（2冬+7d）>024+7d>0（1>7又s厂匹严2=瓢+和13=—（2a3+8d）<024+8dv0/.dv-324从而vdv-37②•/Sm=6（a6+如）>0S]?=13均v0a7<0,a6>0$6最大。例3.已知等差数列仏}中，如+為=6a4=1,则％等于（人）A.15B.30C.31D.64解：•••a7+ag=a4+a}2••"'12=155.判断或证明一个数列是等差数列的方法:①定义法:an+l~an~吊数）SWN）=>｛勺｝是等差数列②中项法（又称递推法
7、）：2。卄］=an+an+25WN）=>&”｝是等差数列③性质法：利用等差数列的性质來判断。④通项公式法：an=kn+b（k,b为M数）二>仏｝是等差数列⑤前77项和公式法：S〃=An2+Bn（A“为常数）=>血｝是等差数列其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题屮，在解答题中判断-个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用例题：1.定义法：2S21设数列｛d“｝屮，且2Sn-1（H>2）,证明数列Sn是等差数列，并求Sn-Sn-解:由已知2S”22S”-1去分母得(2S厂D(S厂S〃_J=2S,
8、s厂S“=2S"=2两边同除以SQz,得必S"一1{—}丄二丄=1・・Sn是以5Cl为首项，以2为公差的等差数列，故丄=丄+（〃—1）・2=2斤-1S”S]>2）oS"经验证〃=1时也成立，所以2/7-1(neN)o1.中项法设数列⑺"}的前71项和为'"，若对于所有的自然数〃，都有_n(a｛+ajn_2证明:S"｝是等差数列。(北京高考题)c_Md]+d“)c_(«-1)(^1+«„-!)解：当斤》2时，22+5)ST)(⑷+%t)Q=s“Sn,=j"两式相减：2八i2n-i/(1)(m+1)(®+%)n{ax+an)%】一co・
9、•・22(2)(2)-(1)=吐_现+讣整理得2®_1)色=5_1)昭1+⑺一!X-1(n>2).*.2Ufl=d”+i+dz,对n=l验证仍成立.••数列⑺”｝是等差数列。6,a3=ilB为常数.18A+
