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1、第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数讥X）同所给数据点Zi）（i二0,1,…，ni）误差ri-H（i二0,1,…，m）的大小，常用的方法有以下三种：一是误差”煎吗）-”（i=0,1,,m）绝对值的最大值世矗⑷，即误差向量2（®6・・・G）r的8—范数;二是误差绝对值的和劲I即误差向量r的1—范数F平方和沪的算术平方根,即瞇向量「的2-范数;前两种方法简单、口然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方,因此在曲线拟合屮常采用谋差平方和幺'来
2、度量课差卩（i=0,1,・・・，m）的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据（x“X）（i二0,1,…，m）,在取定的函数类①中，求旅力©①，使误差心=刀区）一H（i二0,1,…,m）的平方和最小，即乞扌乞b（m）—=阿2-0=2-0从几何意义上讲，就是寻求与给定点⑺必）（i二0,1,…,H1）的距离平方和为最小的曲线（图6-1）o函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数F（x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。二多项式拟合假设给定数据点（吗小）（i二0,1,…,H1）,①为所冇次数不超过"3
3、兰初的多项式构成的函数类，现求一乩⑶一幺％'&①，使得"£也(可)=22-02-0-min当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n二1时，称为线性拟合或直线拟合。显然M»2-0—为如卫1，…务的多元函数，因此上述问题即为求"Z仙,知・・％）的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得51daiJ*花=2乞这＞上才-”国=0,2-0A-0j=o,即»M!tt!z(z^=z^＞上-0i-0i-0j=0,1,…，"（3）是关于务九••叫的线性方程组,用矩阵
4、表示为2-0id2-0…审2-0…k2-02-02＞识2-02-0MJ2-0M…乞02-02-0式(3)或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出丑（k二0,1,…，n）,从而可得多项式口J以证明，式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我称为最小二乘拟合多项式久(力的平方误井,记作2-0曲式⑵可得MM2-0Jt-a2-o(6)多项式拟合的i般方法可归纳为以下几步：(1)曲已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确
5、定拟合多项式的次数n；(丿=0,1,…,2”)乞X®和i-0(3)写出正规方程组，求出勺卫】，••・&；写出拟合多项式在实际应用小，乳5或七兰陀；当X二陀时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。例1测得铜导线在温度爲(°C)时的电阻A(G)如表6-1,求电阻R与温度T的近似函数关系。•0123456Ti(°C)19.125.030.136.040.045.150.0尽(G)76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解画出散点图(图6-2)，町见测得的数据接近一
6、条直线，故取n二1,拟合函数为R-+如丁列农如下■1爲爲2019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.0002245.3565.59325.8320029.445止规方程组为_7245.3_如］_565.5
7、_245.39325.83.-20029.445.解方程组得勺=70.572,勺=0.921故得R与T的拟合直线为/?=70.572+0.9217利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R二0得T二-242.5,即预测温度T二-242・5°C时，铜导线无电阻。6-2例2已知实验数据如下表•101234567813456789101054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解设拟合曲线方程为列表如卜I彳X：0110111101013592781154524416642
8、5616643522512562510504613621612966365714934324017496826451240961612879381729656127243810410010001000040400253323813017253171471025得止规方程组952381_F"""132523813017al=147381■301725317■1025■■解得勺=13.4597,如=-3.6053宓=0-2676故拟合多项式为y=13.4597一3.6053+0.2676x2*三最小
