导数法判断函数增减的再思考

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1、导数法判断函数增减的再思考一、问题提出导数作为一种重要的解决函数问题的工具，在处理函数问题中有着广泛的应用，最重耍的应用Z利用导数符号來判断函数的增减，而对于某些问题我们不仅要知道函数的增减，而是要知道其增减的快慢，如图1,2所示。二、问题解答图4如图3,当函数递增的速度较快时，Illi线上任一•点的切线斜率，随x的增人而增人；如图4,当函数递增的速度较快时，曲线上任一点切线的斜率，随x的增大而减小。因此吋借助切线斜率的增减来判断函数增减的快慢，而据导数的几何意义可知，函数在某一点的导数值即为在该点切线的斜率，故可对导函数再次求导，来判断函

2、数增减的快慢。例1若函数y=/(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］±的图象可•・•能是()解析因为函数f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，所以函数的切线低利率越来越人。故A满足条件。例2函数f(x)的导函数y=fx)的图象如图5所示，则f(x)的函数图ABcD解析由图可得-1vf（x）<1,切线的斜率£w（-1,1）,且在R上切线的斜率变化先慢后快，又变慢，所以结合选项知B符合。评析上述两题主要考查函数的单调性与导数Z间的关系，利用导数的儿何意义转化为切线斜率的变化关系是解决木题的关键。三、逆向变式例

3、3已知函数y二f（x）的图象如图6所示，则y二广（兀）的人致图象可以是图屮的（）CD解析根据导数的几何意义可知，在某点处的导数即为在该点处切线的斜率：该函数在［0,3］内的斜率不变，则导数是一常数：在［a,b］内的切线的斜率在逐渐递减，则导函数在［a,b］内单调递减；在［b,c］内的切线的斜率在逐渐递减，则导函数在［b,c］内单调递减且导函数为负数;在［c,d］内的切线的斜率为负值J1不变，则导函数［c,d］内的值不变且为负数；综上性质可知），=.厂（兀）的大至图象可以是选项Ao评析本题主要考查了导数的儿何意义，以及原函数图象与导函数图象之

4、间的关系，同时考查了识图能力。四、例题探究图7例4（新课标人教B版选修2-2笫25页例1）如图7,设有圆C和定点0,当/从h开始在平面上绕。匀速旋转（旋转角度不超过90）吋,它搜索的圆内阴影部分的面积S是时间/的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？教材解答：由于是匀速旋转，阴影部分而积S⑴开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快。图A表示S的丧事是常数，与实际不符，故图A错；图B农示最后时段S增速快，也与实际不符，故B错；图C表示开始时段增速和最后时段S增速比屮问时段快，也应否定;图D表示开始和结束阶段，S增速慢，中间时段增速

5、快，符合实际,探究:如图8,设/与圆C将于AB两点，圆C半径为r,ZACB为x,则阴影而积S=^r2x-

6、r2sinx,22故S'=*・2（1一cos兀），lfljsz>0恒成立，故其在（0,271）内为增函数。又S〃十®，在区间（5S">0,故S⑴递增的速度较快；在区间5,2"S"<0,故S（t）递增的速度较慢。答案D正确。评析教材解答采用结合实际大致得出S的变化趋势，而本题探究解法利用导函数的增减性严格地得出了函数递增速度的快慢，较教材解答更体现出数学问题解答的严谨性。变式如图9,半径为2的G）O与肓线MN相切于点P,射线PK从PN出发

7、绕点P逆时针方向旋转到PM,旋转过程屮，PK交O0于点Q,设ZPOQ为兀，弓形卩加0的而积为5=/（x）,那么于（兀）的图象大致是（）图9ABCD答案・D五.延伸高考例5（2013年浙江高考）已知函数y=f（x）的图像是下列四个图像Z'y且其导函数⑴的图像如图10所示，则该函数的图像是（）厂t1■yyyy-1O1兀丿.厂■/./图10(2丄e-1^/O1先■1C一丄2/1*V/C/丄〜-yty-I~1人ABCD••■•••■■■•OB•■•■■・解析本题主要考查函数导数的几何意义等基础知识，意在考查考生基本的函数与图像的转化能力.山函数/⑴

8、的导函数〉=广⑴的图像自左至右是先增后减，可知函数）=心）图像的切线的斜率自左至右选增大后减小.答案选B。通过以上题型示例的分析，我们更加能体会到导数作为一种工具在解决函数问题屮的重要作川，虽然高考试题的整休难度在不断的降低，但对问题的考查角度不断创新，要求考牛的思维更加灵活，望同学们在学习中重视教材例题习题的地位，不断进行深入探究、举一反三，进而提高自己分析问题、解决问题的能力，以不变应万变。