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《【测控设计】高二数学人教A版选修4-5同步练习：32一般形式的柯西不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式「一A组1.设d,b,c>0,且d+b+c=l侧、厂T厂的最大值是()A」B.厂C.3D.9_厂yT)2^3xl=3.解析:由柯西不等式，得[(/尸+(、厂)2+(/)2](12+12+12)^(7~丁a/~)2,则fTyT当且仅当a=h=c=~时等号成立.故7vrs厂的最大值为答案:B2.已知兀,y,z均大于0,且x+y+z=l,则的最小值为()A.24B.30C.36D.48解析：(“).,+刀55&丁=36当且仅当-一时等号成---$36当且仅当一-啦等号成：答案:C3.已知x2+y2+z2=1,510x
2、+2y+2z的最大值为()A」B.2C.3D.4解析:由柯西不等式，得(x+2y+2z)2^(l2+22+22)(x2+/+?)=9,所以・3W;v+2y+2zW3.当且仅当兀二——时，右边等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.答案:C4.己知xj是实数，则?+/+(l-x->02的最小值是()A.B.C.6D.3解析:由柯西不等式，得(l2+l2+l2)[?+/+(l-x-y)2]>[x+j+(l-x->')]2二1,即x+(1-x-y)22,当且仅当兀=y=1■”即匸—时，x2+『+(1-x-y)2取得最小值.答案:B5.设a,b,c为正数，则(a+b+c)的
3、最小值是・解析:(a+b+c)=[(jy+W)2+(^/~)2]-TyTT$55U=(2+3+6)2=121.当且仅当答案：121时等号成立.6.设x,y,zWR,若x2+3,2+z2=4,PJiJx-2y+2z的最小值为.解析:由柯西不等式，得(x2+/+z2)-[l2+(-2)2+22]>(x-2y+2z)2,则(x-2j+2z)2^4x9=36.当且仅当——一=以=土—时,上式取得等号，故当"「时/・2y+2z取得最小值6答案:・6_7.设x,y,z丘R,且满足:x2+y2+z2=IK+2y+3z=0，则x+y+z=.解析:根据柯西不等式，得(x+2y+3z
4、)2^(l2+22+32)(x2+/+?)=14(x2+y2+?),当且仅当—~一时，等号成立.Cx2+y2+z2=1,Z(x+2y+3z)2^14,结合兀+2)叶3z=—，可得x+2y+3z恰好取到最大值7—.可得x=,y=,z=.匚匚因it匕,x+y+z二厂答案:&观察下列两个结论:⑴若a,bWR+,且a+b=l,贝IJ24;⑵若a,b,cWR+,且°+b+c=l,则29;先证明结论⑵，再类比⑴⑵结论，请你写出一个关于〃个正数如,如创,…皿的结论•(写岀结论，不必证明)解:由柯西不等式(i+i+i)y(a+b+c)一-一，得32^1x"-",所以—~~$9当且仅当
5、-时等号成；i=1类比⑴⑵结论，写岀一个关于/I个正数°1,如。3,…,4?的结论是:若d(R+(i=l,2,3,・・・,n),且4=1,/=1i则2d9.设实数a,b,c,d,€满足d+b+c+d+w二&且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解:由已知，得°°°?a+b+c-hd=8-e,a2-hb2+c2+d2=16-e2,所以(S-e)2=(a+b+c+e/)2<(cz2+/?2+c2+/)(l2+l2+l2+l2)=4(16-A化简，得5/-16eW0=>0WaW,故^max—•10.已知定义在R上的函数Xx)=
6、x+l
7、+k-2啲最小值为G
8、.⑴求a的值；⑵若厂是正实数,且满足p+g+r=a,求证p2+e/2+r2^3.解:⑴因为
9、兀+11+1兀・21M
10、(兀+1)・(兀・2)
11、=3,当且仅当-1WxW2时，等号成立，所以./(兀)的最小值等于3,即67=3.(2)由⑴知p+q+厂=3,因为p.q.r是正实数，所以(p2+^2+r2)(l2+l2+l2)^(pxl4-^xl+rx1)2=s+g+厂)2=9,即〃2+孑+丿23(当且仅当p-q-r-时,等号成立).B组.n个正数的和与这"•个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.lB.nC./?2D.解析:设n个正数为兀］卫,・・・注“，由柯西不等式，得丄
12、乙n(心+也+…+心)72=(1+1+-・+1)2=/.当且仅当Xi=X2="9=Xfi时取等号.答案:C2.设x,j,zeR,2x+2y+z+8=0,KlJU-l)2+(^+2)2+(z-3)2的最小值为.解析:2x+2y+z+8=0=>2(A>l)+2(jy+2)+(z・3)=・9.考虑以下两组向量：u=(2,2,1),v=(x-l,y+2,z-3),由柯西不等式，得(U・V)2W
13、U
14、2.
15、V
16、2,即[2(x4)+2(y+2)+(z-3)]2^(22+22+l2).[(x-l)2+(y4-2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y?+2)2
