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1、从一道题目的解答看常规教学任人江陕西省城固县第二中学723200一、问题的提出木学期我校高二年级学习了北师人版选修2・1(理)、选修1・1(文)的数学选修课程，其屮都有圆锥Illi线这一章节，对于本章的学习，学住普遍反映：上课能听懂，课后题目太难，难以下手。这不，本章上完后本年级文科重点班一学生问了我以下题冃：22椭圆d+£=l(a>b>0)上存在点P,使得P斥丄PF°(F、F是其左右焦点)，求a~b~此椭圆的离心率c的范围。看罢此题，从教师的角度看，题面简单易懂，条件清楚简单，我想此题应该简单呀！作为重点班的学生对于此题应该是手到擒來。然而却不是想彖的那样，解题过程中
2、问题频发。卜•面是讲解过程屮的思维对话，从屮町以看到学生在解决问题的过程小的思维过程，以助我们了解学牛，从学牛出发使以牛为本的教学理念得到更好的实施。帅:1、是否会画相应图形以帮助分析？2、对于条件P存丄P&你有啥想法？想怎么运用？生：画图略。卩£丄卩场则其斜率之积为・1,所以要设点P坐标P(x.y),并H.冇kpF->,kpF-——则条件化为：—=-1«x24-y2=c2.1x+c2x-cx+cx-c22由于点P在椭圆上，则P(x,y)满足為+朴=1②a~b~下来不会做了。师：1、P斥丄P笃则其斜率之积为-1,这个是怎么想到的？还有其他用法吗？2、按照一般思路，列出的
3、两个方程应该怎么办？再读一遍题冃试试。生：老师说“在圆锥1111线里垂肓的条件都是转化成斜率之积为・1”的；老师说一般情况下列出的儿个相关的方程要联立方程组求解，但是这个字母太多不会解。师：思路是对的，但要注意谁是未知量谁是已知量，联立方程组的口的是什么？解方程组的思想是什么？应该有信心做出來，你试试。A4A2牛：由①得x2=c2-y2带入②得：/=—=>y=±—,Z后又怎么办呢？c~c师：注意题F1条件，存在点P,使得P斥丄P笃，点P在椭圆上是否是限制呢？生：明白了，点P的纵坐标是介于-b到b的，Z后顺利解完本题。师：解完题示学到了什么？这种方法是否可以改进？有没有更
4、简单的思路？下去想一想。二、问题的解答从思维对话的过程不难看出，该牛思维僵化只是学会了老师多次重复的结论和规律一—程咬金三板斧舞完Z后什么都不是，不会理解题意也不会知识的迁移和创新，那么其他学生是什么情况呢？我拿这个题对我班里的学生（普通班）做了检测，人致如此，我在想新课改改成这个状况那还有什么意义呢？所以之后対此题我让学牛•开动脑筋想和解,经过我和学生的思考打磨，形成了以F解法：解法一：同上略（垂直条件化为向量数量积为0亦然）••・>-272点评：此解法只能是理科班的学生做了，因为理科班学生学习了圆锥曲线的共同特征,初步介绍了焦半径公式，学生能从这方面考虑不失为一种发
5、散思维的解题过程，能把学过的知识运用到解决新问题的过程中也是一•种再创造的过程。但是其小的放缩技巧是难点，把陌生问题转化成熟悉的知识，向冇利于问题解决的方向进行是我们对数学结构，代数式等变形的基础。解法三：如图，由题AP许坨是直角三角形，点P在椭圆上JPF[^PF2=2a——(/)、[
6、PFJ2+
7、PFJ2=4c2(//)(I)式平方减(II)得:2PF^PF21=4h2由(II)得
8、PF.
9、2+
10、PF212=4c2>2PF]-PF2(PF、
11、=
12、PF21等号成立)则c2>h2=a2-c?o2c2>a22、1M22rV2new[w,1）点评:此解法
13、抓住椭圆定义和垂直条件,适当变形利用已学习过的均值不等式放缩求解,思维活跃具有创新性。此解的关键是二元一次方程和二元二次方程常见的消元变形过程，最终化为熟悉的均值不等式放缩。解法四：我们已学习并H熟悉椭圆2+斗=1（。>b>0）,圆十+尸=夕和无2+于=/的ab_22位置关系如上图及Illi线与方程，显然题T说椭圆二+真=l@>b>0）上存在点P,使得crtrPR丄PF?,则点P是以F}F2为直径的圆与已知椭圆的交点（直径所对的圆周角是直角）则c>h以下解法同解法三。点评：此解法立足数形的结合，将枯燥的代数运算和精确的变形技巧变为具有形的能看懂的活的数学问题的解决，
14、思路简单清楚，但思维较高，对于一些选择题填空题选择数形结合是我们解决问题的简便之路。解法五：在画椭圆及其焦点三角形的过程中发现，焦点三角形顶角P的最大角在上下顶点处取得，我们考虑极限悄况,点P落于上顶点且形成直角P则b=c,从而离心率"丁当cab开始增人的过程中，椭圆与以
15、人坊
16、为自径的圆相交那么p点就是交点之一满足题意，此过程中离心率逐渐增人故氓[―,i）2点评：其实题目做到方法四我认为已经到此为止了，但班上一学牛乂提出了这种方法,经过润色形成方法五，用到了极限方法、模糊数学的思想，是值得肯定的。他从极限位宜（物理上经常讲临界位置，可能
