二次函数和实际问题

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1、二次函数与实际问题类型一（面积类）例1:将一根长为16龙厘米的细铁丝剪成两段•并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为耳和「2・（1）求口与E的关系式，并写出口的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成耳的函数关系式,求S的最小值.【答案】解：（1）由题意，有2兀门+2兀门二16“，则门+门二8。・.・口>0,r2>0,.,.0

2、］一4）?+32兀，・••当口二4厘米时，S有最小值32兀平方厘米。变式训练：小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化•（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?【答案】解=(1)S=--x2+20xn2(2)*.'a=-—<0,.'.S有最大值。2•士b••吕x=-—=-—2a2x宀4xr~fx=20时'=4ac4a4xx0-20220

3、0□•••当x为20cin时，三角形最大面积是200cm2o【考点】二次函数的应用。【分析】（1）由长度为£的辺与这条辺上的高之和为40可得芸辺上的高=40-Xo由三角形面积公式得S=—X-（40—x）,化简即可。2（2）根据（1）的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可。类型二（利润问题）例2:某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每彳牛商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

4、（2）每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）,则每件商品的利润为：（60-50+x）元，总销量为：（200-lOx）件，商品利润为:y=（60-50+x）（200・1Ox）二・10x'+100x+2000o・・•原售价为每件60元z每件售价不能高于72元，・・・0vxW12。（2）Vy=-10x2+100x+2000=-10（x-5）2+2250,/.当x=5时，最大月利润y二2250。所以商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元思考：若

5、此题：将条件“每件售价不能高于72元”变为“每件售价不能高于64元”最大利润应该十多少呢？车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共480元.设公司每H租出工辆车时，H收益为y元.（日收益二FI租金收入一平均每H各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租岀多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？【答案】解：（1）1400-50xo（2

6、）根据题意得：y=x（-50X+1400）-4800=-50^+1400^-4800=-50（x-14）2+5000o当x=14时，在范围內，y有最大值5000a・••当日租出14辆时，租贾公司日收益最大，最大值为5000元。（3）要使租赏公司日收益不盈也不亏，即：y=0,即：50（x-14）2+5000=0,解得xi=24,卷=4,•・・x=24不合题意，舍去。・••当日租出4辆时，租赏公司日收益不盈也不亏。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】（1）•・•某汽车租赁公司拥有加辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，

7、可全部租出,当每辆车的日租金每増加50元未租出的车将増加1辆,・•・当全部未租出时，每辆租金为：400+20x50=1400元,・•・公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400-50&（2）根据已知得到的二次函数关系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可。（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=50（&⑷2+5000=0,求出z即可。2.某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调硏,若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元（x为

8、正整数）。在促销期间,商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？(注：每件服装