2、。规定κ’(不连通图)=0，κ’(Kv)=υ-1。定义κ(G)>=k时，G叫做k连通图；κ’(G)>=k时，G称为k边连通图。k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。 定理1κ(G)=<κ’(G)=<δ(可以复习一下第一章的1.2：δ=min{d(vi)})证：设d(v)=δ，则删除与v边关联的δ条边后，G变不连通图，所以这δ条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过δ，即κ’(G)=<δ。下证κ=<κ’。分情形讨论之。若G中无桥，
3、则有κ’>=2条边，移去它们之后，G变成不连通图。于是删除这κ’条中的κ’-1条后，G变成有桥的图。设此桥为e=uv，我们对于上述κ’-1条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过κ’-1个)端点，若G变得不边能，则κ=<κ’-1；若仍连通，则再删去u或v，即可使G变得不连通，于是κ=<κ’。证毕。这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种“友好”的面目出现。 下面就是Whitmey定理 定理2(Whitney,1932)υ>=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。任
4、取两顶u,v∈V(G-w)，u,v在G中共存于圈C上，若w不在C上，则G-w中仍有圈C，即u与v在G-w中仍连通；若w在G中时在C上，在G-w中u与v在轨C-w上，故u与v仍连通。由u与v之任意性，G-w是连通图，故κ(G)>=2，即G是2连通图。反之，若G是2连通图，υ>=3,任取u,v∈V(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u与v之间有两条无公共内顶的轨当d(u,v)=1是时，因κ=<κ’=<δ，故κ’>=2，uv边不是桥，G-uv仍连通，于是G-uv中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v)与
5、边uv。假设d(u,v)=2),结论已成立，考虑d(u,v)=k的情形。令P0(u,v)之长为k,w是P0(u,v)上与v相邻的顶，则d(u,w)=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。在G-w中存在轨P’(u,v)<>P0(u,v)，令x是P∪Q上P’的最后一个顶。因u∈P∪Q，故x存在(可能x=u)。不妨设x∈V(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是P上从u到x段并在P’上从x到v段；一个是Q+wv。证毕。 图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多
6、的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。就是打字时中英文切换麻烦。 3.2割顶、桥、块 割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。看起来比较的累人。 定理3v是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：(1) v是割顶(2) 存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条由u到w的轨上(
7、3) 存在V-{v}的一个划分V-{v}=U∪W，U∩W=φ，使得对任意的u∈U,w∈W,v在每一条由u到w的轨上。 定理4x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：(1) x是G的桥。(2) x不在G的任一圈上。(3) 存在顶u,v∈V(G),使得x在每一个从u到v的轨上。(4) 存在V(G)的划分U与W，使得任二顶u,w,u∈U,w∈W时，x在每条从u到v的轨上。 上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了。 定理5G连通，υ>=3,则下列命题等价：(1)G是块。(2
8、) G的任二顶共圈。(3) G的任一顶与任一边共圈(4) G的任二边共圈(5) 任给G的二顶及一边，存在连接此二顶含此边之轨(6) 对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，含第三个顶(7)
