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《源于教材的高考函数与导数解答题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、源于教材的高考函数与导数解答题数既是研究函数性质的有力工具，也是对学生进行理性思维训练的良好素材•所以，不管是人教大纲版教材还是新课标教材，导数在其中都占有较大比重，一直是高考的重点.从近年新课标高考命题来看，高考对导数的考查主要是利用导数研究函数的性质以及与其他知识的综合，虽然具有一定的难度，但这些题目就是教材中的例题或习题的改编.高考真题1(2010年高考福建理科卷第20题)(I)已知函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C.(i)求函数f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数xl,曲线C与其在点Pl
2、(xl,f(xl))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为SI,S2,则为定值.(II)对于一般的三次函数g(x)二ax3+bx2+cx+d(aH0),请给出类似于(I)(ii)的正确命题，并予以证明.参考答案(I)(i)由f(x)=x3-x,得f‘(x)=3x2T=3(x~)(x+).当xG(一8,-)U(,+°°)时，f'(x)>；0；当xG(-,)时，f'(x)<；0,所以函数f
3、(x)的单调递增区间为(-8,-)和(，+8),单调递减区间为(-，)・(ii)曲线C在点P1处的切线的方程为y二(3x21-1)(x~xl)+x31~xl,即y二(3x21-1)x~2x31.由y二(3x21-1)x~2x31,y二x3-x,得x3~x=(3x21-1)x~2x31,即(x-xl)2(x+2xl)二0,解得x=xl或x二-2x1,故x2二-2x1,进而有S1二
4、(x3-3x21x+2x31)dx
5、=x41.用x2代替xl,重复上述计算过程，可得x3=-2x2和S2=x42.又x2二-2xlH0,所以
6、S2二x41H0.因此有二・(II)记函数g(x)二ax3+bx2+cx+d(aHO)的图像为线C',类似于(I)(ii)的正确命题是：若对于任意不等于-的实数xl,曲线C'与其在点Pl(xl,g(xl))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2)),曲线C‘与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,g(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线c‘所围成封闭图形的面积分别记为si,S2,贝q为定值.证明如下：由于平移变换不改变面积的大小，所以可将曲线y二g(x)的对称中心(-，g(-))平移至坐标原点，不妨设g(x)二a
7、x3+hx(xH0)・类似(I)(ii)的计算得S1二ax41,S2=ox41H0,故=.教材原型(人教A版高中数学教材选修2-2第24页例2(1))判断函数f(x)二x3+3x的单调性，并求出单调区间.演变过程高考真题1的第(I)题的第(i)问是将课本例题中的函数f(x)=x3+3x中的"+3x"改为"-x”，改变数据，求解的问题都是求函数的单调区间，解决问题的方法都一样.第(I)题的第(ii)问和第(II)题是将问题进一步跟导数的几何意义联系起来设置问题，曲线上两点的切线围成的几何图形也就是考查定积分的有关知识.
8、这样就以多项式函数为载体，利用导数研究函数的性质和有关的综合性问题.答后反思学生要善于从课本的例题和习题中归纳、总结出基本的数学思想与常见的解题方法；学生可以将近年高考试卷中的课本原型题列表，分析试题是怎样从课本例题和习题中演变过来的，从而找到一些改编试题的规律，并将课本中尚未涉及的原型题加以改编；学生要重视对部分典型例题与习题的深层分析，有些典型例题和习题不止一次在高考中出现•这就要求学生把握好《考试大纲》和《考试说明》，对这部分典型例题和习题进行分析，并进行逆推、延伸和拓展等.同题训练已知函数f(x)=ax3+b
9、x2-3x(a,beR)在点(1,f(1))处的切线的方程为y+2=0.(I)求函数f(x)的解析式；(II)若对于区间［-2,2］上任意两个自变量的值xl,x2都有
10、f(xl)-f(x2)
11、Wc,求实数c的最小值；(Ill)若过点M(2,m)(mH2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.高考真题2(2013年高考广东文科卷第21题)设函数f(x)二x3-kx2+x(kWR).(1)当k=l时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<；0时，求函数f(x)在［k,-k］上的最小值m和最大值M.参考答
12、案(1)当k二1时，函数f(x)的单调递增区间是(一°°,+OO)(解答过程省(2)当k<；0时，函数f(x)在［k,-k］±的最小值m=f(k)=k,最大值M二f(-k)=-2k3-k.(解答过程省略)教材原型(人教A版高中数学教材选修2-2第26页练习1(4))判断函数f(x)=x3-x2-x的单调性，并求出单调区间.演变过程高考真题2
