2.3 二次函数的性质--

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1、2.3二次函数的性质函数开口方向对称轴顶点坐标y＝ax2(a>0)y=ax2+k(a>0)y＝ax2(a<0)y=ax2+k(a<0)向上向上向下向下y轴y轴y轴y轴（0、0）（0、0）（0、k）（0、k）复习回顾函数开口方向对称轴顶点坐标y＝a（x+h）2(a>0)y=a(x+h)2+t(a>0)y＝a（x+h）2(a<0)y=a(x+h)2+t(a<0)向上直线x=-h（-h、0）向下直线x=-h（-h、0）向上向下直线x=-h（-h、t）直线x=-h（-h、t）对于二次函数y=ax2+bx+c(a0

2、)图象:一条抛物线抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定.当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立.0y=0.5x2y=-x2y=-0.5x2a根据函数图象填空：抛物线y=-2x2的顶点坐标是,对称轴是，在侧，即x_____0时,y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时,y随着x的增大而减小.当x=时，函数y最大值是____.当x____0时,y<0(0,0)直线x=0y轴右y轴左00<>0y=-2x2yx(0,0)直线x=0Y轴右Y轴左00<>0y=

3、2x2yx根据函数图象填空：抛物线y=-2x2的顶点坐标是,对称轴是，在侧，即x_____0时,y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时,y随着x的增大而减小.当x=时，函数y最大值是____.当x____0时,y<0函数y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线y=x+2x2合作学习(1)当自变量增大时,函数的值将怎样变化?顶点在图象的位置有什么特点?(2)判别这个函数有没有最小值或最大值.你能发现这是由解析式中的哪一系数决定的吗?(3)这个函数值的增减

4、性是怎样变化的?xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x2－4x－6y=0.75x2+3xy=－0.5x2－2x－1.5观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）条件图像增减性最大（小）值xyox2x1xyox1x2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：a＞0a＜0(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的

5、图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?观察二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，∴它们的纵坐标为0，∴令y=0，则x2-3x+2=0解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你发现方程的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:结论：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2

6、与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的两个交点的坐标为（x1，0）和（x2，0）方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？那么x1和x2恰好是方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解就是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的坐标。横可以发现：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的存在

7、性与方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解是否存在有关。合作探究那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0(a≠0)解的存在性又与什么有关呢？b2－4ac的正负性有关。故而：①当b2－4ac时，抛物线与x轴交点；②当b2－4ac时，抛物线与x轴只有交点；③当b2－4ac时，抛物线与x轴交点。＞0两个＝0一个＜0没有例1、已知函数y=－0.5x2－7x＋7.5(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图像；解：（1）∵a=－0.5,b=－7,c=7.5;所以函数y=－0.5x2

8、－7x＋7.5的大致图像如图：x=－720xy10O10－10305－10－20－15－5(－7，32)(0，7.5)(－15，0)(1，0)⑵自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解：⑵由右图可知，当x≤－7时，y随x的增大而增大；当x≥－7时，y随x的增大而减小；当x＝－7时，函数有最大值32。(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-1